У математиці константа Голомба — Дікмана виникає в теорії випадкових перестановок та в теорії чисел. Її значення дорівнює
Поки невідомо, чи є ця константа раціональною, чи ірраціональною.
Означення Нехай буде середнім (взятим за всіма перестановками множини з елементів) значенням довжини найдовшого циклу в кожній перестановці, тоді константа Голомба — Дікмана дорівнює
Мовою теорії ймовірностей, є асимптотою математичного сподівання довжини найдовшого циклу рівномірно розподіленої випадкової перестановки множини з елементів.
У теорії чисел константа Голомба — Дікмана потрібна у зв'язку із середнім значенням довжини найбільшого простого дільника цілого числа. Більш точно,
де — найбільший простий дільник числа . Таким чином, якщо — -значне ціле число, то — асимптота середнього значення кількості знаків найбільшого простого дільника числа .
Константу Голомба — Дікмана можна зустріти в теорії чисел також і в іншій ситуації. Яка ймовірність того, що другий за величиною простий дільник числа менший від квадратного кореня з найбільшого простого множника числа ? Асимптотично ця ймовірність дорівнює , точніше:
де — другий за величиною простий дільник числа .
Константа Голомба — Дікмана також з'являється у випадку, коли розглядаємо середню довжину найбільшого циклу функції від скінченної множини із значеннями у цій множині. Нехай — скінченна множина, тоді, якщо ми повторно застосовуємо функцію до будь-якого елементу цієї множини, то він входить в цикл, і для деякого маємо: при достатньо великому . Найменше з цією властивістю — довжина циклу. Нехай буде середнім значенням довжини циклу, взятим за всіма функціями від множини розмірності із значеннями у цій множині. Пурдон і Вільямс довели, що
Формули Константа може бути предсталена декількома способами:
де — інтегральний логарифм;
де — експоненціальний інтеграл;
та
де — .
Див. також Випадкова перестановка
Посилання
Примітки