У математиці, зокрема загальній топології, топологічний простір називається метакомпактним, якщо для кожного його відкритого покриття існує точково скінченне подрібнення. Тобто, для будь-якого відкритого покриття топологічного простору, існує подрібнення, яке знову є відкритим покриттям із властивістю, що кожна точка є елементом лише у скінченній кількості множин подрібнення.
Топологічний простір називається зліченно метакомпактним, якщо для кожного зліченного відкритого покриття існує точково скінченне подрібнення.
Формальне означення Нехай є відкритим покриттям топологічного простору , тобто сім'єю відкритих підмножин для яких і є сім'єю відкритих підмножин, що задовольняє умови:
, тобто теж є відкритим покриттям простору , тобто є подрібненням покриття , тобто покриття є точково скінченним.
Приклади
Кожен паракомпактний простір є метакомпактним. Це означає, наприклад, що всі компактні простори і метричні простори є метакомпактними. Прикладом метакомпактного простору, що не є паракомпактним є дошка Дьєдоне.J. Dieudonné: Une généralisation des espaces compacts. In: J. Math. Pure Appl. Volume 23, 1944, p. 65–76.Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978, ISBN 3-540-90312-7, Example 89. Дошка Дьєдоне є також прикладом того, що метакомпактний простір може не бути нормальним. Простим прикладом простору, що не є метакомпактним але є зліченно метакомпактним) є площина Немицького. Стрілка Зоргенфрея є паракомпактним, а тому і метакомпактним простором, проте добуток двох стрілок (площина Зоргенфрея) не є метакомпактним простором. Зліченно компактний простір Лінделефа є метакомпактним і кожен сепарабельний метакомпактний простір є простором Лінделефа.
Властивості
Замкнутий підпростір метакомпактного простору теж є метакомпактним. Кожен метакомпактний простір є ортокомпактним. Нормальний метакомпактний простір є зліченно паракомпактнимK. Morita: Star-finite coverings and the start-finite property. In: Math. Japon. Band 1, 1948, S. 60–68. але може не бути паракомпактним. Кожен метакомпактний нормальний простір задовольняє властивість стиснення: для довільного відкритого покриття існує таке покриття індексоване тією ж множиною, що і для всіх замикань також Якщо покриття є точково скінченним, то таким є і Добуток компактного простору і метакомпактного простору є метакомпактним. Для того, щоб цілком регулярний простір X був компактним, необхідно і достатньо, щоб X був метакомпактним і псевдокомпактним.
Розмірність Лебега
Топологічний простір X має розмірність Лебега n, якщо для кожного відкритого покриття X існує подрібнення, таке що жодна точка простору X належить не більш ніж n + 1 множині із подрібнення і якщо n є мінімальним значенням, для якого це справджуєть. Якщо такого мінімального n не існує то простір має нескінченну розмірність Лебега. Усі простори скінченної міри Лебега є очевидно метакомпактними.
Примітки
Див. також
Компактний простір Нормальний простір Паракомпактний простір Розмірність Лебега Цілком регулярний простір
Література
. P.23.