Метод ітерацій Релея — ітеративний алгоритм обчислення власних значень і векторів, який доповнює ідею зворотного степеневого методу ітеративним обчисленням поточного наближення до власного значення за допомогою відношення Релея.
Метод Релея має дуже велику швидкість збіжності і часто для отримання розв'язку потрібно лише кілька ітерацій. Для симетричних і ермітових матриць за досить добре вибраних початкових значень збіжність кубічна. Однак час виконання кожної ітерації зазвичай пропорційний кубу розміру матриці, тоді як для зворотного степеневого і степеневого методу він квадратичний.
Алгоритм Як і в зворотному степеневому методі ми задаємо деяке початкове наближення до власного значення матриці і початковий вектор , який може бути або випадковим, або відомим наближенням до власного вектора. Далі ітеративно обчислюємо нові наближення до власного вектора за формулою
, де одинична матриця.
На завершення ітерації обчислюємо наступне наближення до власного значення за допомогою відношення Релея:
Приклад програмної реалізації Нижче наведено приклад реалізації мовою GNU Octave.function x = rayleigh(A, epsilon, mu, x) x = x / norm(x); % the backslash operator in Octave solves a linear system y = (A - mu * eye(rows(A))) \ x; lambda = y' * x; mu = mu + 1 / lambda err = norm(y - lambda * x) / norm(y)
while err > epsilon x = y / norm(y); y = (A - mu * eye(rows(A))) \ x; lambda = y' * x; mu = mu + 1 / lambda err = norm(y - lambda * x) / norm(y) end
end
Посилання Lloyd N. Trefethen and David Bau, III, Numerical Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1997. . Rainer Kress, «Numerical Analysis», Springer, 1991.