Побудова Вітгоффа, або конструкція Вітгоффа — метод побудови однорідних многогранників або мозаїк на площині. Метод названо за ім'ям математика . Часто метод побудови Вітгоффа називають калейдоскопною побудовою.

Побудова Побудова ґрунтується на ідеї мозаїк на сфері з використанням сферичних трикутників — див. трикутники Шварца. Ця побудова використовує відбиття відносно сторін трикутника подібно до калейдоскопа. Проте, на відміну від калейдоскопа, відбиття не паралельні, а перетинаються в одній точці. Багаторазові відбиття утворюють кілька копій трикутника. Якщо кути сферичного трикутника вибрано правильно, трикутники покривають сферу мозаїкою один або більше разів.

Якщо помістити точку у відповідне місце всередині сферичного трикутника, оточеного дзеркалами, можна досягти, щоб відбиття цієї точки дали однорідний многогранник. Для сферичного трикутника ABC є чотири позиції, які дають однорідний многогранник:

Точка розташована у вершині A. Вона дає многогранник зі символом Вітгоффа a|b c, де a дорівнює π, поділеному на кут трикутника при вершині A. Аналогічно для b і c. Точка розташована на відрізку AB в основі бісектриси кута при вершині C. Вона дає многогранник зі символом Вітгоффа a b|c. Точка розташована в інцентрі трикутника ABC. Вона дає многогранник зі символом Вітгоффа a b c|. Точка розташована так, що при обертанні її навколо вершин трикутника на подвоєний кут при цих вершинах вона переміщається на однакову відстань. Використовуються лише парні відбиття. Многогранник має символ Вітгоффа |a b c.

Процес, у загальному випадку, застосовується і для отримання правильних політопів у просторах вищих розмірностей, зокрема 4-вимірні . +Приклади Шестикутна призма будується як із сімейства (6 2 2), так і з сімейства (3 2 2). будується за допомогою двох різних позицій у сімействі (4 4 2).

Невітгоффова побудова Однорідні многогранники, які не можна побудувати за допомогою дзеркальної побудови Вітгоффа, називають невітгоффовими. Їх, у загальному випадку, можна отримати з вітгоффових побудов або (видалення вершин через одну) або вставленням чергованих рядів деяких фігур. Обидва типи таких фігур мають обертальну симетрію. Іноді вважають вітгоффовими многогранники, отримані , навіть якщо їх можна отримати альтернацією зрізаних з усіх боків фігур. +ПрикладиШестикутна антипризма будується за допомогою альтернації . будується чергуванням рядків квадратної мозаїки і трикутної мозаїки.  — єдиний невітгоффів однорідний многогранник.

Див. також Символ Вітгоффа — символ для побудови Вітгоффа однорідних многогранників і . Діаграми Коксетера — Динкіна — узагальнений символ для побудови Вітгоффа однорідних многогранників і стільників.

Примітки

Література

Section 4: The Kaleidoscope.

Посилання

Olshevsky, George Wythoff construction at Glossary for Hyperspace Однорідні многокутники, отримані за допомогою побудови Вітгоффа Опис побудови Витгоффа «Jenn» , програмний засіб для перегляду (сферичних) многокутників і чотиривимірних політопів з їхніх груп симетрії