Інваріа́нт Колен де Вердьєра — характеристика графа , визначена для будь-якого графа , яку 1990 року ввів в процесі дослідження кратності другого власного значення деяких операторів Шредінгера..

Визначення Нехай  — простий (без петель і кратних ребер) ациклічний граф. Без втрати загальності поіменуємо множину вершин у такий спосіб: . Тоді  — найбільший будь-якої такої симетричної матриці , що:

(M1) для будь-яких , де : , якщо , і , якщо ; (M2) має рівно одне від'ємне власне значення кратності ; (M3) не існує такої ненульової матриці , що , і що щоразу, коли або ..

Класифікація відомих груп графів З точки зору інваріанта Колен де Вердьєра, деякі добре відомі сімейства графів мають характерні особливості:

, , при ; тоді й лише тоді, коли G є лінійним лісом (лісом, у якому кожен компонент є шляхом, тобто інцидентність будь-якої вершини не більша від 2);У праці цей випадок явно не розглянуто, але він явно випливає з результатів аналізу графів, які не мають мінорів виду «трикутник» і «клешня». тоді й лише тоді, коли G є зовніпланарним графом (усі вершини лежать на одній грані); тоді й лише тоді, коли G є планарним графом; тоді й лише тоді, коли G є незачеплено вклада́ним, тобто не існує двох циклів у G, для яких при відображенні на евклідів простір коефіцієнт зачеплення дорівнює нулю..

Ці ж групи графів проявляють свої відмінні риси і під час аналізу зв'язку між інваріантом графа і доповненням цього графа:

Якщо доповнення графа з n вершинами є лінійним лісом, то ;. Якщо доповнення графа з n вершинами є зовніпланарним графом, то ; Якщо доповнення графа з n вершинами є планарним графом, то .

Мінори графів Мінором графа G називають граф H, отриманий з G послідовним видаленням вершин, видаленням ребер і стисненням ребер. Інваріант Колена де Вердьєра монотонний відносно операції взяття мінора в тому сенсі, що мінорування графа не може збільшити його інваріанта:

Якщо H є мінором G, то .

В теоремі Робертсона — Сеймура, для будь-якого k існує H, скінченна множина графів така, що для будь-якого графа з інваріантом не більшим від k графи з H не можуть бути мінорами. В роботі перелічено множини таких недопустимих мінорів для k ≤ 3; для k = 4 множина недопустимих мінорів складається з семи графів сімейства Петерсена за визначенням незачеплено вкладеного графа як графа з μ ≤ 4 і без графів Петерсена як мінорів.

Зв'язок із хроматичним числом Колен де Вердьєр припустив, що будь-який граф з інваріантом де Вердьера μ можна розфарбувати з використанням не больше ніж μ + 1 кольорів. Наприклад, у лінійних лісів (компоненти яких є двочастковими графами) інваріант дорівнює 1; у зовніпланарних графів інваріант дорівнює 2 і їх можна розфарбувати трьома кольорами; у планарних графів інваріант — 3 і їх можна розфарбувати чотирма кольорами.

Для графів з інваріантом де Вердьєра не більше чотирьох припущення істинне; вони всі є незачеплено вкладаними, і той факт, що вони розфарбовуються п'ятьма кольорами, є наслідком доведення гіпотези Хадвігера для графів без мінорів типу K6 у роботі Робертсона, Сеймура та Томаса .

Інші властивості Якщо число перетинів графа дорівнює k, то інваріант де Вердьєра для нього буде не більшим ніж k + 3. Наприклад, графи Куратовського K5 і K3,3 можна зобразити з одним перетином, і інваріант для них буде не більшим від чотирьох.

Примітки

Посилання

.

. .