У математиці лемніскатна еліптична функція — це еліптична функція, що пов'язана з довжиною дуги лемніскати Бернуллі.
Вперше вона була досліджена у 1718 році, та пізніше Леонардом Ейлером, Карлом Фрідріхом Гаусом та іншими.
Лемніскатні функції синуса та косинуса, для позначення яких зазвичай використовують символи й (іноді , або та )Гаус використовував символи і для лемніскат і . Вітекер і Ватсон (1920) використовували і . У деяких джерелах використовуються початкові букви і . Прасолов і Соловйов (1997) використовували букву для лемніскати і для її похідної., є аналогами тригонометричних функцій синуса та косинуса. У той час як тригонометричний синус пов'язує довжину дуги з довжиною хорди в колі одиничного діаметра , лемніскатний синус пов'язує довжину дуги з довжиною хорди лемніскати .
Періоди лемніскатних функції пов'язані з числом , яке називають лемніскатною константою, що є відношенням лемніскатного периметра до його діаметра.
Функції та мають квадратну (кратну гауссовим цілим числам) з ,Фундаментальні періоди і є «мінімальними» в сенсі, що це найменше абсолютне значення серед періодів, дійсні частини яких є невід'ємними. і є окремим випадком двох еліптичних функцій Якобі на цій ґратці, , .
Аналогічно, гіперболічні лемніскатичні функції та мають квадратну періодичну ґратку з фундаментальними періодами .
Лемніскатні функції та гіперболічні функції пов'язані з еліптичною функцією Веєрштраса .
Лемніскатні функції синуса та косинуса
Означення Лемніскатні функції та можна визначити відповідно як розв'язки задач Коші:Робінсон (2019a) стартував з цього означення і далі отримував інші властивості лемніскатних функцій.
або, еквівалентно, визначити як обернені функції для еліптичного інтеграла, тобто як з одиничного круга комплексної площини у квадрат з кутами :Це відображення було першою ілюстрацією для відображення Шварца—Крістофелля, див. Шварц (1869).
Поза цим квадратом функції можуть бути аналітично продовжені на всю комплексну площину за допомогою серій віддзеркалень.
Для порівняння, функції синуса і косинуса на колі можна визначити, відповідно, як розв'язки задач Коші:
або як обернені функції для відображення з верхньої півплощини в напівнескінченну смугу з дійсними частинами між та , і додатною уявною частиною:
Довжина кривої лемніскати Бернулі
Лемніската Бернулі з напівшириною 1 є геометричним місцем точок на площині таких, що добуток відстані від яких до двох фокусних точок та є константа . Це є , що задовольняє рівняння в полярних координатах або рівняння в декартових координатах. Точки на лемніскаті на відстані від початку координат є перетинами кола та гіперболи . Точка перетину у першій чверті має наступні декартові координати:
Використовуючи параметризацію з для чверті лемніскати, довжину кривої від початку координат до точки дорівнює:Ейлер (1761), Сігел, (1969), Прасолов і Соловйов (1997) для лемніскати використовували представлення у полярних координатах, щоб визначити диференціал довжини дуги кривої, але результат буде той же.
Аналогічно, довжина кривої від точки до точки дорівнює:
Або у зворотньому порядку, за допомогою лемніскатних функцій синуса та косинуса визначають відстань від початку координат як функції довжини кривої, відповідно від початку координат до точки . Аналогічно, функції синуса та косинуса пов'язують довжину хорди з довжиною кривої в колі одиничного діаметра, яке задається рівнянням в полярних координатах, або рівнянням в декартових координатах, використовуючи вищезгадані аргументи, але з параметризацією:
Лемніскатний інтеграл та лемніскатні функції задовольняють тотожності подвійного аргументу, яку запропонував Фаньяно у 1718 році:Siegel (1969), Schappacher (1997).
якщо
Пізніше математики узагальнили цей результат. За аналогією з на колі лемніскату можна розділити на сегментів однакової довжини дуг, використовуючи тільки циркуль та лінійку тоді й лише тоді, коли має вигляд , де — натуральне число, а всі (якщо є) — різні числа Ферма.Числа A003401 в OEIS. «Необхідність» в теоремі була доведена Нільсом Абелем в 1827—1828 роках, а «достатність» була доведена в 1981 році.Abel (1827—1828), Rosen (1981), Prasolov & Solovyev (1997). Еквівалентно, лемніскату можна розділити на сегментів рівної довжини дуг, використовуючи тільки циркуль та лінійку, тоді й лише тоді, коли є натуральним числом (де є функцією Ейлера). Лемніската не вважається намальованою, а теорема відноситься лише до побудови точок поділу. Нехай , тоді точками поділу для лемніскати є
де — функція підлоги. Нижче наведені деякі частинні значення для .
Довжина дуги кривої пружного деформування
Обернена функція лемніскати синуса описує довжину дуги відносно координати .Euler (1786), Sridharan (2004), Levien (2008). Ця крива має координату і довжину дуги:
Крива пружного деформування є розв'язком задачі, яку запропонував Якоб Бернуллі в 1691 для опису форм ідеалізованого гнучкого стержня, зафіксованого у вертикальному положенні у нижньому кінці і який відтягується від верхнього кінця до горизонтально положення. Запропонований Бернуллі розв'язок став основою теорії балки Ейлера--Бернуллі, яка була розроблена Ейлером в 18 столітті.
Лемніскатна константа
Лемніскатні функції мають мінімальний період і фундаментальні комплексні періоди та для константи (у позначеннях Гауса), яку називають лемніскатною константою,Schappacher (1997). Послідовність OEIS A062539 містить десяткові цифри лемніскатної константи.Як правило константа визначається першою рівністю нижче.
де — повний еліптичний інтеграл першого роду з модулем , —— бета-функція, — гамма-функція, — похідна бета-функції Діріхле, — дзета-функція Рімана. Однак іноді величину називають лемніскатною константою, і одна з «лемніскатних констант» Джона Тодда — це величина .«Lemniscate Constant».Todd (1975).«A085565 — Oeis».Carlson, B. C. (2010), «Elliptic Integrals», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248. Тут використовується лише позначення Гауса для опису лемніскатної константи. Геометрично, є відношенням периметра лемніскати Бернуллі до її діаметра. Трансцендентність лемніскатної константи була доведена в 1937 році.Schneider (1937). У 1975 році Григорій Чудновський довів, що і є алгебраїчно незалежними над полем .G.V.Choodnovsky: Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis, Notices of the AMS 22, 1975, p.A-486.G.V.Chudnovsky: Contributions to The Theory of Transcendental Numbers, American Mathematical Society, 1984, p.6. Пов'язана константа є константою Гаусса.
Лемніскатні функції задовольняють основне співвідношення
Крім того, константа пов'язана з площею під кривою . Нехай , тоді подвійна площа в першій чверті під кривою дорівнює У випадку рівняння четвертого порядку: .
У 1738 році Ейлер відкрив, що для кривої пружного деформування:Левін (2008). Тод (1975) називав ці два множники і лемніскатними константами і обговорив методи їх обчислення.
Формула Вієта для числа може бути записана як
Аналогічна формула для :Левін (2006).
Формула Валіса для :
Аналогічна формула для :Хайд у 2014 довів справедливість більш загальної формули типу Валіса для кривих конюшини; тут спеціальний випадок лемніскати трохи модифіковано для наочності.
Пов'язаною з цим результатом є формула:
Нескінченний ряд для отриманий Гауссом має вигляд:Bottazzini Gray (2013), p.60.
для має вигляд , і декілька аналогічних формул для можна отримати з використанням тригонометричних формул для суми кутів, наприклад, формула Ейлера Аналогічні формули можна записати і для , включаючи ті, що знайшов Гаусс: Лемніскатну константу можна швидко обчислити за допомогою ряду:Cox, David (January 1984). «The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss». L'Enseignement Matematique. 30(2): 275—330. See p.307, eq.2.21 для першої рівності.
де (для , це п'ятикутне число), або з використанням середнього арифметико-геометричного :
У дусі аналогічному до базельської задачі можна записати наступну формулу:
де — гауссові числа, — ряд Ейзенштейна з вагою 4.Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (1999). Autour du nombre Pi (французькою). HERMANN. ISBN 2705614435. p.224.
Нулі, полюси і симетрії
При зсуві на лемніскатні функції і переходять одна в одну, а при зсуві на функції є додатково повернутими та взаємооберненими:Комбінація першої і четвертої тотожності дає . Ця тотожність (неправильно) дана в Eymard's and Lafon's Autour du nombre Pi (p.218) без мінуса у правій частині.
Подвоєння цих зсувів одиничними елементами гауссових цілих чисел кратних (тобто або ) приводить до зміни знаку функцій (інволюції):
Як наслідок, обидві функції інваріантні відносно зсуву на парне гаусове ціле число кратне .Цілі числа Гаусса — це клас лишків 0 за модулем , чорні квадрати на шаховій дошці. Тобто, перестановка для цілих чисел , , :
Це робить їх еліптичними функціями (двічі періодичні мероморфні функції в комплексній площині) з діагонально-квадратною фундаментальних періодів та .Prasolov Solovyev (1997), Robinson (2019a).
Еліптичні функції з періодичною квадратною ґраткою більш симетричні, ніж довільні еліптичні функції, що слідують симетрії ґратки.
Віддзеркалення і повороти на чверть обороту аргументів лемніскатної функції мають прості вирази:
Функція має прості нулі в гаусових цілих числах кратних , комплексних числах вигляду для цілих чисел і . Вона має прості полюси у гаусових напівцілих числах кратних , комплексних числах вигляду з лишком . Функція віддзеркалюється і зміщується від функції , . Вона має нулі при аргументах і полюси при аргументах з лишками .
Оскільки лемніскатний синус є мероморфною функцією, то його можна записати як відношення голоморфних функцій. Гаусс показав, що функція має наступний розклад через добутки, який відображає розподіл його нулів і полюсів:Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (1999). Autour du nombre Pi (in French). HERMANN. ISBN 2705614435. p.218.
де
Тут, і — відповідно нулі та полюси функції , які знаходяться у першій чверті , . Гаусс висунув гіпотезу, що (пізніше це було доведено), і зауважив, що це «чудова властивість і її доведення обіцяє серйозний прогрес в аналізі».Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013). Hidden Harmony—Geometric Fantasies. Springer. ISBN 978-1-4614-5724-4. p.58Гаусс записав добутки для і у вигляді нескінченних рядів. Він також запропонував декілька тотожностей, що включають функції та , наприклад, .
Існують також нескінченні ряди, що відображають розподіл нулів і полюсів функції :Reinhardt, W. P.; Walker, P. L. (2010), «Jacobian Elliptic Functions», in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248Аналогічно,.
Тотожність піфагорійського типу
Лемніскатні функції задовольняють тотожність піфагорійського типу:
Як результат, — параметричне рівняння для .
Цю тотожність можна також представити якLindqvist Peetre (2001) узагальнює першу з цих форм.
Позначивши оператор тангенса суми як , отримуємо
Похідні та інтеграли Похідні:
Другі похідні лемніскатних функцій синуса і косинуса є їх від'ємними подвійними кубами:
Інтеграли від лемніскатні функції виражаються через функцію арктангенс:
Сума аргументів і деякі тотожності Як і тригонометричні функції, леменіскатні функції задовольняють тотожності для суми і різниці аргументів. Оригінальна тотожність, яку використовував Фаньяно для поділу навпіл лемніскати, має наступний вигляд:Ayoub (1984), Prasolov Solovyev (1997).
З використанням похідних і тотожності піфагорійського типу можна записати тотожність Фаньяно в термінах функцій і . Визначаючи оператор тангенса суми і оператор тангенса різниці , формули для суми і різниці аргументів можуть бути представлені якEuler (1761), § 44 p. 79, § 47 pp. 80–81
Вони нагадують відповідні тригонометричні аналоги:
Формули половинного аргументу: