Концентрація міри — принцип, за яким за певних досить загальних і не дуже обтяжливих обмежень значення функції великої кількості змінних майже сталеMichel Talagrand, A New Look at Independence, The Annals of Probability, 1996, Vol. 24, No.1, 1-34. Наприклад, більшість пар точок на одиничній сфері великої розмірності розташовані на відстані, близькій до один від одного.
Принцип концентрації міри ґрунтується на ідеї Поля Леві. На початку 1970-х років його дослідив Віталій Мільман у його роботах з локальної теорії банахових просторів. Цей принцип набув подальшого розвитку в роботах Мільмана та Громова, Море, , Шехтмана, Талаграна, та інших.
Основні визначення Нехай — метричний простір з імовірнісною мірою . Нехай
де
є - околом множини .
Функцію називають профілем простору .
Неформально кажучи, простір задовольняє принципу концентрації міри, якщо його профіль швидко зменшується при зростанні .
Формальніше, сімейство метричних просторів із мірами називають сімейством Леві, якщо для відповідних профілів виконується таке
Якщо понад це
для деяких констант , то послідовність називають нормальним сімейством Леві.
Зауваження Таке визначення профілю еквівалентне:
де точна верхня грань за всіма 1-ліпшицевими функціями і медіана , визначена такою парою нерівностей
Концентрація міри на сфері Перший приклад запропонував Поль Леві. Відповідно до сферичної ізопериметричної нерівності, серед усіх підмножин сфери із заданою сферичною мірою сферичний сегмент
для будь-якого має найменший -окіл для будь-якого фіксованого .
Застосовуючи це спостереження для однорідної імовірнісної міри на і множини такої, що , отримуємо таку нерівність:
де — універсальні константи. Тому послідовність є нормальним сімейством Леві, і принцип концентрації міри виконується для цієї послідовності просторів.
Застосування Припустимо, позначає множину всіх опуклих многокутників у одиничному квадраті з вершинами в -ґратці . Тоді за малих більшість многокутників з лежать близько до деякої опуклої множини . Точніше, описується нерівністюBárány, Imre. «The limit shape of convex lattice polygons.» Discrete & Computational Geometry 13.1 (1995): 279—295.
Лема про мале спотворення Теорема Дворецького
Див. також Мартингал Дуба
Примітки
Література
A. A. Giannopoulos, V. Milman, Concentration property on probability spaces, Advances in Mathematics 156 (2000), 77—106.