Кватерніон можна представити у вигляді пари скаляра та 3-вимірного вектора: ,
множення кватерніонів буде виражатись через скалярний та векторний добутки 3-вимірних векторів:
Виразимо векторний добуток через добуток кватерніонів:
Поворот точки навколо осі в 3-вимірному просторі
Покажемо що результатом повороту вектора на кут відносно осі (одиничний вектор) буде: , де
— чисто векторний кватерніон, — чисто векторний кватерніон,
Перепишемо останній кватерніон в іншій формі:
Спершу обчислимо необхідний нам вираз (використали властивість подвійного векторного добутку):
Обчислимо добуток:
де та компоненти вектора паралельні і перпендикулярні до відповідно:
Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших.
Кількість операцій + Обчислення результату двох поворотів Зберігання Множення Додавання Матриця повороту 9 27 18 Кватерніон 4 16 12
+ Обчислення повороту точки Зберігання Множення Додавання Матриця повороту 9 9 6 Кватерніон 4 15 12
Матриця повороту
Поворотові за допомогою одиничного кватерніона відповідає наступна матриця повороту
Якщо представимо кватерніон у вигляді тоді
Доданки ідентичні доданкам із формули отриманої через кватерніони.
Для спрощення обчислень, зведемо подібні доданки та вернемось до векторної форми (формула повороту Родрігеса):
Перший та другий доданки вже не є обов'язково ортогональними.