У математиці та фізиці графічне позначення Пенроуза або тензорна діаграма — це (як правило рукописне) візуальне зображення мультилінійних функцій або тензорів, запропоноване Роджером Пенроузом у 1971 році. Roger Penrose, "Applications of negative dimensional tensors," in Combinatorial Mathematics and its Applications, Academic Press (1971). See Vladimir Turaev, Quantum invariants of knots and 3-manifolds (1994), De Gruyter, p. 71 for a brief commentary. Діаграма в нотації складається з кількох фігур, з’єднаних між собою лініями. Нотація була широко вивчена Предрагом Цвітановичем, який використовував її, діаграми Фейнмана та інші пов’язані нотації для розробки нотації «пташиного сліду» (теоретико-групова версія діаграм Фейнмана) для класифікації класичних груп Лі. Позначення Пенроуза також було узагальнено за допомогою теорії представлень до спінових мереж у фізиці та за допомогою груп матриць до діаграм сліду в лінійній алгебрі. Цей графічний запис широко застосовується в сучасній квантовій теорії, зокрема в станах матричного добутку та квантових схемах .
Інтерпретації
Мультилінійна алгебра Мовою мультилінійної алгебри кожна фігура представляє мультилінійну функцію. Лінії, прикріплені до фігур, представляють вхідні або вихідні дані функції, а приєднання фігур певним чином є, по суті, композицією функцій.
Тензори Мовою тензорної алгебри окремий тензор асоціюється з певною формою з багатьма лініями, які виходять вгору та вниз, що відповідає абстрактним верхнім та нижнім індексам тензору відповідно. Сполучні лінії між двома фігурами відповідають згортці за відповідними індексами. Однією з переваг цієї нотації є те, що не потрібно винаходити нові букви для позначення нових індексів. Ця нотація також явно не залежить від базису. Roger Penrose, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe, 2005, , Chapter Manifolds of n dimensions.
Матриці Кожна фігура представляє матрицю, тензорний добуток позначається горизонтально, а множення матриць виконується вертикально.
Зображення спеціальних тензорів
Метричний тензор Метричний тензор представлений U-подібною петлею або перевернутою U-подібною петлею, залежно від типу тензора, що використовується.
Тензор Леві-Чивіти Антисиметричний тензор Леві-Чивіти представлений товстою горизонтальною смужкою з ніжками, спрямованими вниз або вгору, залежно від типу тензора, що використовується.
Структурна константа
Структурні константи ( ) алгебри Лі представлені невеликим трикутником з однією лінією, напрямленою вгору, і двома лініями, напрямленими вниз.
Тензорні операції
Згортка індексів Згортка індексів представлена за допомогою з'єднання індексних ліній. Наприклад, наступними є позначення дельти Кронекера та скалярного добутку:
Симетризація Симетризація індексів представлена товстою зиґзаґоподібною або хвилястою смужкою, що горизонтально перетинає індексні лінії.
Антисиметризація Антисиметризація індексів представлена товстою прямою смужкою, яка перетинає індексні лінії горизонтально.
Визначник Визначник формується шляхом застосування антисиметризації до індексів.
Коваріантна похідна Коваріантну похідну ( ) представлено колом навколо тензора (або декількох), що диференціюється, та лінією, з’єднаною з колом, яка вказує вниз, щоб представити нижній індекс похідної.
Тензорні маніпуляції Діаграматична нотація корисна для маніпулювання тензорною алгеброю. Зазвичай це включає кілька простих «тотожностей» тензорних маніпуляцій.
Наприклад, , де n є кількістю вимірів, є загальновживаною тотожністю в тензорних маніпуляціях.
Тензор кривини Рімана Тотожності Річчі та Б’янкі, задані в термінах тензора кривини Рімана, ілюструють потужність такого позначення
Розширення Позначення було розширено завдяки спінорам і твісторам .
Дивіться також
Діаграми Фейнмана Мультилінійна алгебра Стан матричного добутку Тензор Тензорні мережі
Примітки