Фуксова модель — це подання гіперболічної ріманової поверхні R як фактор-поверхні верхньої півплощини H за фуксовою групою. Будь-яка гіперболічна ріманова поверхня дозволяє таке подання. Концепцію названо іменем Лазаруса Фукса.
Точніше визначення За теоремою уніформізації будь-яка ріманова поверхня є еліптичною, або гіперболічною. Точніше, ця теорема стверджує, що ріманова поверхня , яка не ізоморфна або рімановій сфері (в еліптичному випадку), або фактор-поверхні комплексної поверхні за дискретною підгрупою (у параболічному випадку), повинна бути фактор-поверхнею гіперболічної площини за підгрупою , що діє цілком розривно та вільно.
У моделі Пуанкаре у верхній півплощині для гіперболічної площини група є групою , що діє гомографією, а теорема уніформізації означає, що існує дискретна підгрупа без скруту , така, що ріманова поверхня ізоморфна . Таку групу називають фуксовою групою, а ізоморфізм — фуксовою моделлю для .
Фуксові моделі та простір Тейхмюллера Нехай — замкнена гіперболічна поверхня і нехай — фуксова група, така, що є фуксовою моделлю для . Нехай
.
Тут — множина всіх ефективних та дискретних подань із топологією, породженою точковою збіжністю (іноді званою «алгебричною збіжністю»). У цьому випадку топологію найпростіше визначити так: група є оскільки вона ізоморфна фундаментальній групі . Нехай — породжувальна множина, тоді будь-яке визначається елементами і можна ототожнити з підмножиною відображенням . Тим самим ми задамо топологію підпростору.
Теорема Нільсена про ізоморфізм (це не стандартна термінологія і цей результат не пов'язаний безпосередньо з ) тоді стверджує таке:
Для будь-якого подання існує автогомеоморфізм (фактично, ) верхньої півплощини , таке, що для будь-кого .
Доведення дуже просте — виберемо гомеоморфізм і піднімемо його на гіперболічну площину. Взяття дифеоморфізму дає квазіконформне відображення, оскільки компактна.
Це можна розглядати як еквівалентність між двома моделями для простору Тайхмюллера — множини дискретних ефективних подань фундаментальної групи Множину гомотопічних класів петель із добутком петель із точки простору називають фундаментальною групою з відміченою точкою і позначають . Якщо — лінійно зв'язний простір, то з точністю до ізоморфізму фундаментальна група не залежить від відміченої точки і для таких просторів можна писати замість . Див. Фундаментальна група у класи суміжності і множини відмічених ріманових поверхонь , де — квазіконформний гомеоморфізм природного відношення еквівалентності.
Див. також Модель Кляйна, аналогічна побудова для 3D-многовидів
Примітки
Література