Хоча операція піднесення до степеня не є комутативною, рівність виконується для деяких пар наприклад,
Історія Рівняння згадано в листі Бернуллі до Гольдбаха (29 червня 1728 року). У листі сказано, що за пара — єдиний (з точністю до перестановки) розв'язок у натуральних числах, хоча існує безліч розв'язків у раціональних числах. У листі у відповідь Гольдбаха (31 січня 1729) міститься загальний розв'язок рівняння, отриманий заміною Аналогічний розв'язок надав Ейлер. І. ван Генгель (J. van Hengel) вказав, що якщо — додатні цілі, або то отже, для розв'язання рівняння в натуральних числах достатньо розглянути випадки і
Задачу неодноразово розглянуто в математичній літературі. 1960 року рівняння з'явилося серед завдань на , що підштовхнуло А. Гауснера до розширення результатів на алгебричні поляA. Hausner, Algebraic number fields and the Diophantine equation mn = nm, Amer. Math. Monthly 68 (1961), 856—861..
Розв'язки в дійсних числах
Нескінченну множину тривіальних розв'язків у додатних дійсних числах знаходять як розв'язок рівняння Нетривіальні розв'язки можна знайти, поклавши Тоді
Піднесення обох частин до степеня із наступним діленням на дає
Тоді нетривіальні розв'язки в додатних дійсних числах виражаються як
Нетривіальний розв'язок у натуральних числах можна отримати, поклавши або
Розв'язок в термінах W-функції Ламберта Розв'язок рівняння можна також виразити через неелементарну W-функцію Ламберта від змінної :
, зробимо заміну :
Тепер змінну можна виразити через W-функцію Ламберта:
Остаточно розв'язок виглядатиме так:
Зокрема, через неоднозначність цієї функції, на проміжку або рівняння матиме два корені .
Який із параметрів ( чи ), буде змінною, по суті, не важливо, формула залишиться такою ж.
Якщо при змінній (або ) виконується нерівність (або )< , то коренів у дійсних числах немає.
Розв'язок у термінах суперкореня другого степеня Рівняння є окремим випадком рівняння при і . Підставивши ці значення в загальну формулу розв'язку, легко знайти і розв'язок початкового рівняння:
Цей розв'язок повніший, оскільки дозволяє отримати від'ємні дійсні корені, якщо вони існують (бо логарифм, на відміну від експоненти в попередньому розв'язку, може бути меншим за нуль). Існування третього кореня пояснюється еквівалентністю рівнянь і при парному , однак, на практиці, існує тільки, максимум, два дійсних корені (третій корінь у формулі обов'язково сторонній) через те, що функція суперкореня другого степеня обернена до описаної вище функції (інакше ), яка виражається через W-функцію Ламберта, яка, у свою чергу, набувати більше двох дійсних значень не може.
З цього розв'язку випливає тотожна рівність: . Це легко довести, прирівнявши обидва описані вище розв'язки один до одного:
, далі відповідно до властивостей логарифма та суперкореня другого степеня:
. Доведена тотожність є часткою від загальнішого випадку при .
Примітки
Посилання
: Десятковий розклад -x, де x — від'ємний розв'язок рівняння 2^x = x²