Прямий добуток груп — операція, яка за групами і будує нову групу, яку зазвичай позначають як . Ця операція є теоретико-груповим аналогом декартового добутку множин та одним з основних прикладів поняття прямого добутку.
У контексті абелевих груп прямий добуток іноді називають прямою сумою та позначають . Прямі суми відіграють важливу роль у класифікації абелевих груп: згідно з теоремою про структуру скінченнопороджених абелевих груп, будь-яку скінченнопороджену абелеву групу можна розкласти в пряму суму циклічних груп.
Визначення Якщо і — групи з операціями і відповідно, той прямий добуток визначається так:Отриманий алгебричний об'єкт задовольняє аксіомам групи:
Асоціативність бінарної операції Бінарна операція на асоціативна, що перевіряється покомпонентно. Існування одиничного елемента Прямий добуток має одиничний елемент , де — одиничний елемент і — одиничний елемент . Існування оберненого елемента Обернений елемент до елемента у — це пара , де є оберненим до в , а — оберненим до в .
Приклади
Нехай — група дійсних чисел із операцією додавання. Тоді прямий добуток — група всіх двокомпонентних векторів з операцією додавання векторів: . Нехай — група додатних дійсних чисел із операцією множення. Тоді прямий добуток — група всіх векторів у першій координатній чверті з операцією покомпонентного множення: . Нехай і — циклічні групи, кожна з яких містить два елементи: + * 1 a 1 1 a a a 1 + * 1 b 1 1 b b b 1 Тоді прямий добуток ізоморфний 4-групі Кляйна: + * (1,1) (a,1) (1, b) (a, b) (1,1) (1,1) (a,1) (1, b) (a, b) (a,1) (a,1) (1,1) (a, b) (1, b) (1, b) (1, b) (a, b) (1,1) (a,1) (a, b) (a, b) (1, b) (a,1) (1,1)
Елементарні властивості
Алгебрична структура Нехай і — групи, а . Розглянемо наступні дві підмножини :
і .
Обидві ці підмножини є підгрупами , при цьому канонічно ізоморфна , а канонічно ізоморфна . Якщо ми ототожнимо їх із і відповідно, ми зможемо вважати, що прямий добуток містить початкові групи і як підгрупи.
Зазначені підгрупи мають такі три важливі властивості:
Перетин тривіальний. Кожен елемент із можна однозначно подати як добуток елемента з та елемента з . Кожен елемент із комутує з кожним елементом із .
Разом ці три властивості повністю визначають алгебричну структуру прямого добутку . Іншими словами, якщо — будь-яка група, що має підгрупи і , що задовольняють зазначені вище властивості, то ізоморфна прямому добутку і . У цій ситуації іноді називають внутрішнім прямим добутком її підгруп і .
У деяких випадках третя з наведених властивостей замінюється такою:
3′. і нормальні в .
Ця властивість еквівалентна властивості 3, оскільки елементи двох нормальних підгруп із тривіальним перетином обов'язково комутують, що можна довести, розглядаючи комутатор , де — будь-який елемент у , а — будь-який елемент у .
Приклади внутрішнього прямого добутку
Задання прямого добутку Алгебричну структуру можна використати для задання прямого добутку за допомогою задань і . Зокрема, припустимо, що
і
де і — (неперетинні) породжувальні множини групи, а і — множини співвідношень між породжувальними. Тоді
де — множина співвідношень, які визначають, що кожен елемент у комутує з кожним елементом у .
Наприклад, якщо
і
то
Нормальна структура Як згадано вище, підгрупи і нормальні в . Зокрема, можна визначити функції і формулами
і .
Тоді і є гомоморфізмами проєкції з ядрами і відповідно.
З цього виходить що — розширення за допомогою (або навпаки). У випадку, коли — скінченна група, композиційні фактори групи є точно об'єднанням композиційних факторів групи та композиційних факторів групи .
Інші властивості
Універсальна властивість Прямий добуток можна схарактеризувати такою універсальною властивістю. Нехай і — гомоморфізм проєкції. Тоді для будь-якої групи та будь-яких гомоморфізмів і існує єдиний гомоморфізм , що відповідає такій комутативній діаграмі:
Іншими словами, гомоморфізм задається формулою
.
Це окремий випадок універсальної властивості для добутків у теорії категорій.
Підгрупи Якщо — підгрупа і — підгрупа , то прямий добуток є підгрупою . Наприклад, ізоморфною копією в є добуток , де — тривіальна підгрупа .
Якщо і нормальні, то — нормальна підгрупа в . Більш того, фактор-група прямих добутків ізоморфна прямому добутку часток:
.
Зверніть увагу, що, взагалі кажучи, неправда, що кожна підгрупа з є добутком підгрупи з та підгрупи з . Наприклад, якщо — будь-яка нетривіальна група, то добуток має
яка не є прямим добутком двох підгруп .
Підгрупи прямих добутків описує .
Спряженість та централізатори Два елементи і спряжені в тоді й лише тоді, коли і спряжені в і одночасно і спряжені в . Звідси випливає, що кожен клас спряженості в є декартовим добутком класу спряженості в і класу спряженості в .
Аналогічно, якщо , то централізатор є добутком централізаторів і :
.
Також центр є добутком центрів і :
.
Нормалізатори поводяться складніше, оскільки всі підгрупи прямих добутків самі розкладаються на прямі добутки.
Автоморфізми та ендоморфізми Якщо — автоморфізм , а — автоморфізм , то добуток функцій , що визначається формулою
є автоморфізмом . З цього випливає, що містить у собі підгрупу, ізоморфну прямому добутку .
У загальному випадку неправда, що кожен автоморфізм має вищезгаданий вигляд. Наприклад, якщо — будь-яка група, то існує автоморфізм групи , який міняє місцями два множники, тобто
.
Інший приклад: групою автоморфізмів групи є є група всіх матриць розміру зі цілочисельними значеннями та визначником, рівним . Ця група автоморфізмів нескінченна, але лише скінченна кількість автоморфізмів задаються як .
Загалом, кожен ендоморфізм можна записати у вигляді матриці розміру
де — ендоморфізм , — ендоморфізм , а і — гомоморфізми. Ця матриця повинна мати властивість, що кожен елемент образу комутує з кожним елементом образу , а кожен елемент образу комутує з кожним елементом образу .
Коли і — нерозкладні групи з тривіальними центрами, то група автоморфізмів прямого добутку відносно проста: , якщо і не ізоморфні, та , якщо , де позначає . Це частина , в загальному випадку вона справедлива для скінченних прямих добутків.
Узагальнення
Скінченні прямі добутки Можна знайти прямий добуток більш ніж двох груп одночасно. Для скінченної послідовності груп прямий добуток
визначають так:
Він має багато властивостей, які має прямий добуток двох груп, і може бути алгебрично схарактеризованим в аналогічний спосіб.
Нескінченні прямі добутки Також можна отримати прямий добуток нескінченної кількості груп. Для нескінченної послідовності груп його можна визначити так само, як для скінченного прямого добутку, з елементами нескінченного прямого добутку, що є нескінченними кортежами.
У загальнішому сенсі, для індексованого сімейства груп прямий добуток визначають так:
На відміну від скінченного прямого добутку, нескінченний прямий добуток не породжується елементами ізоморфних підгруп . Натомість ці підгрупи породжують підгрупу прямого добутку, відому як нескінченна пряма сума, яка складається з усіх елементів, що мають лише скінченне число неодиничних компонентів.
Інші добутки
Напівпрямі добутки
Нагадаємо, що група з підгрупами і ізоморфна прямому добутку і , якщо вона задовольняє такі три умови:
Перетин є тривіальною групою. Кожен елемент із можна однозначно подати як добуток елемента з та елемента з . І , і є нормальними в .
Напівпрямий добуток і отримують ослабленням третьої умови, так що тільки одна з двох підгруп , має бути нормальною. Отриманий добуток, як і раніше, складається з упорядкованих пар , але з трохи складнішим правилом множення.
Також можна повністю послабити третю умову, не вимагаючи від жодної з підгруп нормальності. У цьому випадку групу називають груп і .
Вільні добутки Вільний добуток груп і , що зазвичай позначають як , схожий на прямий добуток, за винятком того, що підгрупи і групи не мусять комутувати. А саме, якщо
і ,
є заданнями і , то
.
На відміну від прямого добутку елементів вільного добутку не можна представити впорядкованими парами. До того ж вільний добуток будь-яких двох нетривіальних груп нескінченний. Дивно, але вільний добуток є кодобутком у категорії груп.
Підпрямі добутки Якщо і — групи, то підпрямим добутком і є будь-яка підгрупа , яка відображається сюр'єктивно в і під впливом гомоморфізмів проєкції. Згідно з , кожен підпрямий добуток розшарований.
Розшаровані добутки Нехай , і — групи, і нехай і — гомоморфізми. Розшарований добуток і над являє собою таку підгрупу :
.
Якщо і — епіморфізми, то це підпрямий добуток.
Примітки
Література
Українською
Іншими мовами
. . Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 . .