Прямий круговий циліндр — це циліндр, твірні якого перпендикулярні до основ. Таким чином, у прямому круговому циліндрі твірна і висота мають однакові розміри. Його також називають циліндром обертання, оскільки його можна отримати обертанням прямокутника зі сторінами і навколо однієї з його сторін. Закріпивши як сторону, навколо якої відбувається обертання, ми отримуємо, що сторона , перпендикулярна до , буде радіусом циліндра.
Окрім прямого кругового циліндра, існує також похилий круговий циліндр, який характеризується відсутністю твірних, перпендикулярних до основ.
Прикладами об’єктів, які мають форму правильного круглого циліндра, є деякі банки та свічки.
Елементи прямого кругового циліндра Основи: два паралельних і рівних кола;
Вісь: пряма, визначена двома центрами основ циліндра;
Висота: відстань між двома площинами основ циліндра;
Твірні (гератриси): відрізки, що паралельні осі і закінчуються в точках кіл основ.
Бічна площа та площа поверхні
Бічна поверхня прямого циліндра складається з твірних. Її площу можна отримати шляхом добутку довжини кола основи на висоту циліндра. Отже, площа бічної поверхні визначається як:
.
– площа бічної поверхні циліндра; становить приблизно 3,14; – відстань між бічною поверхнею циліндра та віссю, тобто значення радіуса основи; – висота циліндра; — довжина кола основи, оскільки , тобто, .
Зауважте, що у випадку прямого кругового циліндра висота й твірна мають однакові розміри, тому бічна площа також може бути задана за формулою:
.
Площа основи циліндра дорівнює площі круга (в цьому випадку ми покладемо, що круг має радіус ):
.
Щоб обчислити загальну площу прямого кругового циліндра, потрібно просто додати площу бічної сторони до площі двох основ:
.
Заміна і , ми маємо:
або навіть
.
Об'єм
Відповідно да принципа Кавальєрі, який визначає, що якщо два тіла однакової висоти з конгруентними площами основи розташованими на одній площині перетинає будь-яка інша площина, паралельна цій площині, вона утворює як перерізи два багатокутники з однаковими площами, тому об’єми двох тіл будуть однаковими. Використовуючи цей факт, можна визначити об’єм циліндра.
Об’єм циліндра можна отримати так само, як об’єм призми з тією ж висотою і такою ж площею основи. Тому просто помножте площу основи на висоту:
.
Оскільки площа круга радіуса , який є основою циліндра, задається формулою , то з цього випливає, що:
або навіть
.
Рівносторонній циліндр
Рівносторонній циліндр – це правильний круговий циліндр, у якого діаметр основи дорівнює висоті (твірній).
Тоді, вважаючи, що радіус основи рівностороннього циліндра дорівнює , маємо, що діаметр основи цього циліндра дорівнює а його висота становить .
Його бічну площу можна отримати, замінивши значення висоти на :
.
Аналогічним чином можна отримати результат для площі всієї поверхні:
.
Для рівностороннього циліндра можна отримати більш просту формулу для обчислення об’єму. Просто замініть висоту на подвоєний радіус у формулі об’єму прямого кругового циліндра:
.
Осьовий переріз Осьовий переріз – це перетин площини, що містить вісь циліндра, і циліндра.
У випадку прямого кругового циліндра осьовий переріз є прямокутником, оскільки твірна перпендикулярна до основи. Рівносторонній циліндр має квадратний осьовий переріз, оскільки його висота дорівнює діаметру основи .
Див. також
Циліндр Геометрія Стереометрія
Примітки
Бібліографія
Balestri, Rodrigo (2016). Matemática: interação e tecnologia (in Portuguese) (2 ed.). São Paulo: Leya. Conexões com a matemática (in Portuguese) (1 ed.). São Paulo: Moderna. 2010. Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2013). Fundamentos da matemática elementar 9: geometria plana (in Portuguese) (9 ed.). São Paulo: Atual. Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2005). Fundamentos da matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica (in Portuguese). São Paulo: Atual. Giovanni, José Ruy; Giovanni Jr., José Ruy; Bonjorno, José Roberto (2011). Matemática fundamental: uma nova abordagem (in Portuguese). São Paulo: FTD. Paiva, Manoel (2004). Matemática (in Portuguese) (1 ed.). São Paulo: Moderna.