Próbkowanie przekrojów – algorytm należący do klasy algorytmów próbkowania Monte Carlo łańcuchami Markowa generujący pseudo-losowych próbki z zadanej dystrybucji. Metoda opiera się na obserwacji, że aby próbkować zmienną losową można jednorodnie próbkować wnętrza konturów jej dystrybucji.
Motywacja Powiedzmy, że chcemy otrzymać próbki zmiennej losowej X o rozkładzie f(x). Niech poniższy wykres odpowiada funkcji f(x). Wysokość f(x) odpowiada gęstości prawdopodobieństwa dla danej wartości.
alt=Przykładowy rozkład|350x350px
Gdybyśmy jednorodnie próbkowali oś X, każdy wynik miałby taką samą gęstość prawdopodobieństwa. Zamiast otrzymać szukaną dystrybucję otrzymalibyśmy rozkład podobny do tego poniżej (niebieska linia).
alt=Przykładowy rozkład z poziomicą|350x350px
Aby wygenerować próbki X w taki sposób aby wiernie oddać rozkład f(x), należy posłużyć się metodą która częściej zwraca wartości X odpowiadające dużym wartościom f(x).
Algorytm Prosta wersja próbkowania przekrojów wybiera próbki z rozkładu jednostajnego na konturach f(x) bez potrzeby odrzucania próbek według poniższej procedury:
Inicjalizuj x0 takie dla którego f(x0)>0. Wybierz y z jednorodnego rozkładu między 0 a f(x0). Znajdź poziomice f(x) = y. Wybierz wartość x z jednorodnego rozkładu z wewnątrz tej poziomicy. Wróć do kroku 2 używając nowej wartości x.
Motywacją dla takiej procedury jest obserwacja że zamiast próbkować trudny rozkład f(x) można próbkować jednorodnie małe poziome plastry f(x) jeśli plastry są losowane w odpowiedni sposób. Używając wartości x z poprzedniej iteracji w stanie równowagowym prawdopodobieństwo wylosowania danego plastra jest proporcjonalne do jego powierzchni.
Zazwyczaj problemem w implementacji jest znalezienie konturów, co zazwyczaj wymaga użycia funkcji odwrotnej do dystrybucji. To jest szczególnie trudne dla funkcji wielo-modalnych, gdzie kontur nie musi być spójny. Często można zminimalizować ten problem jeśli kontur jest podzbiorem nieco większego zbioru - można wtedy zastosować próbkowanie z odrzucaniem jako pod-algorytm dla punku 2 opisanej procedury.
Bibliografia
Kategoria:Metody numeryczne Kategoria:Modelowanie statystyczne Kategoria:Procesy stochastyczne