mały|250x250px|prawo|Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym Jest ona rzeczywista, ponieważ odpowiada zmiennej losowej symetrycznej względem zera. Ogólnie jednak funkcje charakterystyczne mogą przyjmować wartości zespolone.

Funkcją charakterystyczną rozkładu prawdopodobieństwa nazywa się funkcję zadaną wzorem

gdzie:

– zbiory liczb rzeczywistych i zespolonych – jednostka urojona.

Jeżeli jest zmienną losową, a jest jej rozkładem, to jej funkcja charakterystyczna może być zapisana jako

gdzie to wartość oczekiwana.

Funkcja charakterystyczna, podobnie jak dystrybuanta, koduje pełną informację o rozkładzie. Istnieje dla każdej zmiennej losowej.

Funkcja charakterystyczna zmiennych ciągłych i dyskretnych Z definicji ogólnej, podanej we wstępie, wynikają następujące definicje szczegółowe:

(1) dla zmiennej losowej ciągłej o gęstości funkcja charakterystyczna jest transformatą Fouriera funkcji :

(2) dla zmiennej losowej dyskretnej o funkcji masy prawdopodobieństwa skupionej w punktach i wartościach funkcja charakterystyczna jest dana wzorem:

Przykład: Funkcja charakterystyczna rozkładu dwumianowego Rozkład dwumianowy ma dyskretny rozkład prawdopodobieństwa

gdzie,

gdzie:

, – symbol Newtona (współczynnik dwumianowy)

Funkcja charakterystyczna jest dana wzorem: gdyż Stąd:

przy czym przedostania równość wynika ze wzoru na dwumian Newtona.

Własności Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej jest funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej i ma następujące własności: co implikuje, że funkcja charakterystyczna jest niezerowa w otoczeniu zera, , gdzie oznacza liczbę zespoloną sprzężoną z , jest ciągła na całej prostej, jest funkcją rzeczywistą wtedy i tylko wtedy, gdy rozkład jest symetryczny względem , jest dodatnio określona, jest jednostajnie ciągła, dla rozkładów ciągłych (twierdzenie Riemanna-Lebesgue’a), Funkcja charakterystyczna funkcji zmiennej losowej Tw. Funkcja charakterystyczna funkcji zmiennej losowej , gdzie jest funkcją rzeczywistą, jest postaci

(1) dla zmiennej losowej ciągłej o gęstości :

(2) dla zmiennej losowej dyskretnej o funkcji masy prawdopodobieństwa skupionej w punktach i wartościach :

Tw. W szczególności dla funkcji liniowej , gdzie – stałe liczby rzeczywiste, z powyższego twierdzenia mamy:

Np. Jeśli ma rozkład wykładniczy o funkcji charakterystycznej

to dla zmiennej losowej otrzymujemy

Tabela funkcji charakterystycznych Niżej podano funkcje charakterystyczne typowych rozkładów prawdopodobieństwa. Zawsze przy czym oraz Symbol oznacza indykator zbioru

{| class="wikitable" ! Nazwa || Oznaczenie || Rozkład || Funkcja charakterystyczna |- | jednopunktowy || || || |- | dwupunktowy || || || |- | Poissona || || || |- | dwumianowy || || || |- | geometryczny || || || |- | jednostajny (na odcinku)|| || || |- | wykładniczy || || || |- | normalny || || || |- | normalny standardowy|| || || |- |gamma (dwuparametrowy)

Momenty Z funkcji charakterystycznej da się wyznaczyć momenty zmiennej losowej Istnieje też częściowe odwrócenie tego twierdzenia dla momentów parzystych.

Twierdzenie Jeżeli istnieje -ty moment zmiennej losowej tzn. to istnieje również -ta pochodna funkcji charakterystycznej co więcej jest ona jednostajnie ciągła, oraz zachodzi

Dzięki temu wzór Taylora funkcji charakterystycznej wygląda następująco: jeżeli to

Twierdzenie Jeżeli istnieje -ta pochodna funkcji charakterystycznej zmiennej losowej, gdzie oraz to istnieje -ty moment tej zmiennej losowej.

Kryteria określające funkcje charakterystyczne Kryterium określającego kiedy funkcja jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu prawdopodobieństwa dostarcza twierdzenie Bochnera. Innym jest kryterium Pólya.

Funkcja charakterystyczna determinuje rozkład, tzn. jeśli są rozkładami prawdopodobieństwa na to jeśli mają one równe funkcje charakterystyczne, czyli to rozkłady te są identyczne, tj.

Ponieważ ciąg jest zbieżny według rozkładu, jeżeli dla dowolnej funkcji ciągłej i ograniczonej,

w szczególności dla (ciągłej i ograniczonej co do modułu przez 1), to

a więc zbieżność według rozkładu zmiennych losowych pociąga zbieżność punktową ich funkcji charakterystycznych. Twierdzenie Lévy’ego-Craméra jest nietrywialnym odwróceniem tego wyniku.

Dystrybuanta i gęstość Z tożsamości Parsevala wynika wzór na dystrybuantę rozkładu o funkcji charakterystycznej Jeżeli punkt jest punktem ciągłości, to

Odwrotna transformacja Fouriera umożliwia wyznaczenie gęstości: jeżeli jest całkowalna, to rozkład ten ma ograniczoną i ciągłą gęstość daną wzorem

Twierdzenie Plancherela mówi, iż jeżeli rozkład ma gęstość i funkcję charakterystyczną to jest całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowalna. Wtedy też

Funkcje niezależnych zmiennych losowych Funkcje charakterystyczne są szczególnie użyteczne do badania zmiennych będących funkcjami niezależnych zmiennych losowych. Tw. Funkcja charakterystyczna sumy dowolnej skończonej liczby niezależnych zmiennych losowych równa się iloczynowi funkcji charakterystycznych tych zmiennych, tj. jeżeli

to funkcja charakterystyczna dana jest iloczynem

Tw. Jeżeli jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, a

gdzie to funkcja charakterystyczna dana jest iloczynem

W szczególności co wynika wprost z definicji funkcji charakterystycznych (pierwsza i czwarta równość), własności funkcji wykładniczej (druga równość) i niezależności zmiennych losowych (trzecia równość):

Rozkłady wielowymiarowe Jeżeli zaś jest wektorem losowym, a przez rozumie się ich iloczyn skalarny, to funkcję charakterystyczną wektora definiuje się analogicznie wzorem

lub w zapisie macierzowym

gdzie oznacza transpozycję (oba wektory są kolumnowe).

Funkcja charakterystyczna przekształcenia afinicznego wyraża się przez wzorem postaci:

gdzie jest przekształceniem liniowym (macierzą), zaś

Zmienne losowe są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy

Zgodnie z twierdzeniem Craméra-Wolda ciąg wektorów losowych zbiega według rozkładu do wektora wtedy i tylko wtedy, gdy zbiega według rozkładu do dla każdego

Zobacz też funkcja charakterystyczna (transformata Fouriera) funkcja tworząca momenty (transformata Laplace’a) funkcja tworząca prawdopodobieństwa (transformata Laurenta lub Z-transformata) kumulanta Przypisy

Bibliografia

W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998, cz. I Rachunek prawdopodobieństwa, str. 146-155. Lech T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, str.164-167.

C Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa