Tabele współczynników Clebscha-Gordana używa się do dodawania stanów kwantowych operatora momentu pędu. Znak współczynników dla danego zestawy liczb jest do pewnego stopnia dowolny i został ustalony zgodnie z konwencją Condona-Shortlego i Wignera.
Sprzężenie stanów Omówimy tu sposób wykorzystania tabel ze współczynnikami C-G na podstawie przypadku sprzęgania stanów o liczbach kwantowych
(1) W kolejnych wierszach tabel podane są możliwe wartości
(2) Współczynniki C-G dla danych wartości i wartości są na skrzyżowaniu kolumny z wartościami oraz wiersza w wartościami – podano je wytłuszczonym drukiem. Przy czym z podanych wartości liczbowych należy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy, zostawiając ewentualny znak – przed pierwiastkiem. + j 1 m 1 m1, m2 +1/2, +1/2 1 + cd. j 1 m −1 m1, m2 −1/2, −1/2 1 + cd. j 1 0 m 0 0 m1, m2 1/2, −1/2 1/2 1/2 m1, m2 −1/2, 1/2 1/2 −1/2
Sprzężenie stanów – dowolna liczba, + j j m m1 m1, m2 m1, 0 1
czyli mamy:
Sprzężenie stanów + j 3/2 m +3/2 m1, m2 +1, +1/2 1 + cd. j 3/2 1/2 m +1/2 +1/2 m1, m2 1, −1/2 1/3 2/3 m1, m2 0, +1/2 2/3 −1/3 + cd. j 3/2 1/2 m −1/2 −1/2 m1, m2 0, −1/2 2/3 1/3 m1, m2 −1, +1/2 1/3 −2/3 + cd. j 3/2 m −3/2 m1, m2 −1, −1/2 1
Sprzężenie stanów + j 2 m 2 m1, m2 +1, +1 1 + cd. j 2 1 m +1 +1 m1, m2 +1, 0 1/2 1/2 m1, m2 0, +1 1/2 −1/2 + cd. j 2 1 0 m 0 0 0 m1, m2 +1, −1 1/6 1/2 1/3 m1, m2 0, 0 2/3 0 −1/3 m1, m2 −1, +1 1/6 −1/2 1/3 + cd. j 2 1 m −1 −1 m1, m2 0, −1 1/2 1/2 m1, m2 −1, 0 1/2 −1/2 + cd. j 2 m −2 m1, m2 −1, −1 1
Sprzężenie stanów + j 5/2 m +5/2 m1, m2 +2, +1/2 1 + cd. j 5/2 3/2 m +3/2 +3/2 m1, m2 +2, −1/2 1/5 4/5 m1, m2 +1, +1/2 4/5 −1/5 + cd. j 5/2 3/2 m +1/2 +1/2 m1, m2 1, −1/2 2/5 3/5 m1, m2 0, +1/2 3/5 −2/5 + cd. j 5/2 3/2 m −1/2 −1/2 m1, m2 0, −1/2 3/5 2/5 m1, m2 −1, +1/2 2/5 −3/5 + cd. j 5/2 3/2 m −3/2 −3/2 m1, m2 −1, −1/2 4/5 1/5 m1, m2 −2, +1/2 1/5 −4/5 + cd. j 5/2 m −5/2 m1, m2 −2, −1/2 1
Sprzężenie stanów + j 3 m +3 m1, m2 +2, +1 1 + cd. j 3 2 m +2 +2 m1, m2 +2, 0 1/3 2/3 m1, m2 +1, +1 2/3 −1/3 + cd. j 3 2 1 m +1 +1 +1 m1, m2 +2, −1 1/15 1/3 3/5 m1, m2 +1, 0 8/15 1/6 −3/10 m1, m2 0, +1 2/5 −1/2 1/10 + cd. j 3 2 1 m 0 0 0 m1, m2 +1, −1 1/5 1/2 3/10 m1, m2 0, 0 3/5 0 −2/5 m1, m2 −1, +1 1/5 −1/2 3/10 + cd. j 3 2 1 m −1 −1 −1 m1, m2 0, −1 2/5 1/2 1/10 m1, m2 −1, 0 8/15 −1/6 −3/10 m1, m2 −2, +1 1/15 −1/3 3/5 + cd. j 3 2 m −2 −2 m1, m2 −1, −1 2/3 1/3 m1, m2 −2, 0 1/3 −2/3 + cd. j 3 m −3 m1, m2 −2, −1 1
Sprzężenie stanów + j 2 m +2 m1, m2 +3/2, +1/2 1 + cd. j 2 1 m +1 +1 m1, m2 +3/2, −1/2 1/4 3/4 m1, m2 +1/2, +1/2 3/4 −1/4 + cd. j 2 1 m 0 0 m1, m2 +1/2, −1/2 1/2 1/2 m1, m2 −1/2, +1/2 1/2 −1/2 + cd. j 2 1 m −1 −1 m1, m2 −1/2, −1/2 3/4 1/4 m1, m2 −3/2, +1/2 1/4 −3/4 + cd. j 2 m −2 m1, m2 −3/2, −1/2 1
Sprzężenie stanów + j 5/2 m +5/2 m1, m2 +3/2, +1 1 + cd. j 5/2 3/2 m +3/2 +3/2 m1, m2 +3/2, 0 2/5 3/5 m1, m2 +1/2, +1 3/5 −2/5 + cd. j 5/2 3/2 1/2 m +1/2 +1/2 +1/2 m1, m2 +3/2, −1 1/10 2/5 1/2 m1, m2 +1/2, 0 3/5 1/15 −1/3 m1, m2 −1/2, +1 3/10 −8/15 1/6 + cd. j 5/2 3/2 1/2 m −1/2 −1/2 −1/2 m1, m2 +1/2, −1 3/10 8/15 1/6 m1, m2 −1/2, 0 3/5 −1/15 −1/3 m1, m2 −3/2, +1 1/10 −2/5 1/2 + cd. j 5/2 3/2 m −3/2 −3/2 m1, m2 −1/2, −1 3/5 2/5 m1, m2 −3/2, 0 2/5 −3/5 + cd. j 5/2 m −5/2 m1, m2 −3/2, −1 1
Definicja Współczynniki Clebscha-Gordana są rozwiązaniami równań
czyli
Sumowanie przebiega dla liczb dla których każdy składnik jest nieujemny.
Dla skrócenia zapisu rozwiązania z oraz można obliczyć na podstawie prostych zależności
oraz
Zobacz też izospin moment pędu spin współczynniki Clebscha-Gordana
Bibliografia David J. Griffiths, Introduction to Elementary particles, Cambridge University Press, 2008.
Źródła zewnętrzne Teoria całkowitego momentu pędu – wikibooks
Kategoria:Mechanika kwantowa