Zbiór wewnętrzny – w logice matematycznej, w szczególności teorii modeli i analizie niestandardowej, zbiór będący elementem modelu.
Pojęcie zbioru wewnętrznego standowi narzędzie do sformułowania zasady przenoszenia, która dotyczy związków logicznych między właściwościami liczb rzeczywistych a właściwościami większego ciała liczb hiperrzeczywistych Ciało zawiera w szczególności liczby infinitezymalne (tj. „nieskończenie małe”), dając przy tym ścisłe uzasadnienie posiłkowania się nimi. Z grubsza rzecz ujmując, ich ideą jest wyrażenie analizy rzeczywistej w odpowiednim języku logiki matematycznej, a następnie wskazaniu, że ten sam język jest wygodnym sposobem opisu liczb hiperrzeczywistych. Okazuje się, że jest to możliwe: z punktu wiedzenia teorii zbiorów twierdzenia w takim języku interpretowane są jako stosowalne tylko w zakresie zbiorów wewnętrznych, a nie wszystkich zbiorów (słowo „język” użyte jest tu w sensie potocznym, jak wyżej).
Przykładem aksjomatycznego podejścia do analizy niestandardowej jest teoria zbiorów wewnętrznych Edwarda Nelsona (zob. również teoria Palmgrena w konstruktywnej analizie niestandardowej). Konwencjonalne ujęcia nieskończoności w analizie niestandardowej również wykorzystują pojęcie zbioru wewnętrznego.
Zbiory wewnętrzne w konstrukcji ultrapotęgowej
Zgodnie z konstrukcją ultrapotęgową liczb hiperrzeczywistych jako klas równoważności ciągów zbiór wewnętrzny w jest zdefiniowany za pomocą ciągu zbiorów rzeczywistych gdzie o liczbie hiperrzeczywistej mówi się, że należy do zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór indeksów dla których jest elementem ultrafiltru użytego w konstrukcji
Ogólniej, byt wewnętrzny jest elementem naturalnego rozszerzenia bytu rzeczywistego. Zatem dowolny element jest wewnętrzny; podzbiór jest wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem naturalnego rozszerzenia czyli zbioru potęgowego liczb rzeczywistych itd.
Podzbiory wewnętrzne liczb rzeczywistych Każdy podzbiór wewnętrzny jest z konieczności skończony (tj. nie ma elementów nieskończonych, ale może mieć nieskończenie wiele elementówTwierdzenie 3.9.1 (Goldblatt, 1998).). Innymi słowy każdy nieskończony podzbiór wewnętrzny liczb hiperrzeczywistych zawiera koniecznie elementy niestandardowe.
Zobacz też funkcja części standardowej
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Analiza niestandardowa