thumb|Według twierdzenia o nieskończonej liczbie małp, bez ograniczenia czasowego, szympans byłby w stanie napisać tekst zawarty między innymi w dramatach Szekspira. Twierdzenie o nieskończonej liczbie małp mówi, że jeśli nieskończona liczba małp losowo naciska klawisze maszyny do pisania przez nieskończenie długi czas, to prawdopodobieństwo powstania dowolnego wcześniej ustalonego skończonego tekstu (np. Hamleta Williama Szekspira) dąży do 1 przy nieskończonej liczbie prób lub w nieskończonym czasieA numerical evaluation of the Finite Monkeys Theorem [online] [dostęp 2025-10-26]. Twierdzenie to jest matematycznie poprawne, jednak często bywa błędnie interpretowane.

Zdarzenie to jest prawie pewne (tzn. jego prawdopodobieństwo wynosi 1), co ze ściśle matematycznego punktu widzenia nie oznacza jednak, że zdarzenie przeciwne jest absolutnie niemożliwe. Termin „małpa” w kontekście tego twierdzenia pełni rolę metafory abstrakcyjnego urządzenia generującego nieskończony, losowy ciąg znaków. Dla dowolnej skończonej liczby prób prawdopodobieństwo wygenerowania określonego tekstu o długim ciągu znaków jest znikome, lecz dodatnie i wynoszące dla alfabetu o znakach i tekstu długości .

Istnieją różne warianty tego twierdzenia, zakładające różną liczbę małp i różne długości tekstu. Podobne rozważania pojawiały się w dziełach Metafizyka Arystotelesa, De natura deorum Cycerona, pracach Pascala i Swifta, a także w rozważaniach formułowanych współcześnie. Na początku XX wieku Émile Borel i Arthur Eddington wykorzystali twierdzenie o nieskończonej liczbie małp aby zilustrować skalę czasu znajdującą się u podstaw mechaniki statystycznej.

Dowód Zakłada się, że można udowodnić z prawdopodobieństwem zmierzającym do 1 (co nie znaczy „na pewno”), że Hamleta może napisać zarówno jedna małpa bez ograniczeń czasowych, jak i nieskończona liczba małp w określonym czasie.

Założenia Aby twierdzenie było prawdziwe, konieczne jest przyjęcie pewnych założeń: Każda litera ma niezerowe prawdopodobieństwo wykorzystania. Przykład: gdyby małpy nie używały w ogóle litery „H”, to nigdy nie mogłyby napisać danego tekstu. Małpy nie zmieniają zachowania (proces „małpa” jest stacjonarny). Przykład: gdyby małpy wciskały „H” coraz rzadziej, to twierdzenie o napisaniu Hamleta przez jedną małpę w nieskończonym czasie byłoby fałszywe. Kolejne znaki są niezależne od pozostałych. Przykład: gdyby np. po literze „H” zawsze następowało jej powtórzenie, to twierdzenie także byłoby fałszywe.

Prawdopodobieństwo Ignorując znaki interpunkcyjne, spacje i wielkie litery użyte w oryginalnym tekście, prawdopodobieństwo napisania pierwszej litery Hamleta poprawnie wynosi 1/26. Na napisanie dwóch liter poprawnie prawdopodobieństwo wynosi 1/676 (26 razy 26). Ponieważ prawdopodobieństwo spada wykładniczo, przy 20 literach prawdopodobieństwo napisania ich wszystkich poprawnie wynosi 1/2620 = 19 928 148 895 209 409 152 340 197 376. W przypadku pełnego tekstu Hamleta prawdopodobieństwo napisania go w całości jest niezwykle małe. Przy założeniu, że tekst Hamleta zawiera 130 000 znaków (w rzeczywistości zawiera ich o wiele więcej), prawdopodobieństwo wylosowania całego tekstu utworu wynosi 1 do 3,4·10183 946. Średnia liczba prób potrzebnych do wygenerowania tego utworu wynosi 3,4·10183 946Dla każdego danego ciągu długości 130 000 znaków ze zbioru od a do z, średnia liczba liter, które należy napisać, by pojawił się ciąg, to około 3,4×10183946, z wyjątkiem sytuacji, gdy wszystkie litery szukanego ciągu są takie same, gdyż wtedy wartość zwiększa się o około 4%, do 3,6×10183946. Tym samym niepowodzenie odnalezienia właściwego ciągu w konkretnym miejscu spada o około 4% prawdopodobieństwa poprawnego ciągu zaczynającego się na następnej pozycji. (To znaczy, dla pozycji oddalonych od siebie o mniej niż długość szukanego ciągu zdarzenia znalezienia go nie są niezależne; występuje korelacja między dwoma trafieniami, taka że szansa na sukces po porażce jest mniejsza niż ogólne prawdopodobieństwo)..

Dla porównania szacuje się, że istnienie jedynie około 1079 atomów w obserwowalnym Wszechświecie oraz przyjmuje się, że od Wielkiego Wybuchu upłynęło zaledwie 4,3·1017 sekund. Nawet jeśli Wszechświat byłby wypełniony małpami piszącymi nieprzerwanie, to całkowite prawdopodobieństwo stworzenia jednego egzemplarza Hamleta przez małpy nadal wynosiłoby mniej niż 1 do 10183 800. Fizycy i Herbert Kroemer zauważają, że „prawdopodobieństwo napisania »Hamleta« jest więc równe zeru dla każdej możliwej realizacji”, a stwierdzenie, że małpom musi się ostatecznie powieść „prowadzi do zwodniczych wniosków o bardzo, bardzo wielkich liczbach”. Wypowiedzi te pochodzą z ich pracy dotyczącej termodynamiki, której podstawy statystyczne spowodowały stworzenie metafory małp piszących na maszynie.

Historia Mechanika statystyczna Jedna z najwcześniejszych matematycznych wersji twierdzenia o małpach piszących na maszynie ukazała się w artykule Émile’a Borela z 1913 roku, Mécanique Statistique et Irréversibilité (Mechanika statystyczna i nieodwracalność) oraz w jego wydanej rok później książce, Le Hasard.

„Małpy” u Borela nie są prawdziwymi małpami, a jedynie metaforą nierzeczywistego sposobu tworzenia wielkich i losowych sekwencji znaków. Borel stwierdził, że gdyby milion małp pisało na maszynie po dziesięć godzin dziennie, byłoby skrajnie nieprawdopodobne, że rezultat ich pracy byłby dokładną kopią całych księgozbiorów najbogatszych księgarń świata. Jednocześnie jest jeszcze mniej prawdopodobne, by prawa mechaniki statystycznej zostały złamane, choćby nieznacznie.

Fizyk Arthur Eddington, rozwijając rozważania Borela, posunął się o krok dalej w The Nature of the Physical World (1928), pisząc:

Rozważanie to ilustruje, jak małe jest prawdopodobieństwo, by wielka — lecz skończona — liczba małp, pisząca przez wielki — lecz skończony — czas, byłaby zdolna otrzymać jakiekolwiek istniejące wcześniej, znaczące kulturowo dzieło. Każdy fizyczny proces mniej prawdopodobny niż powodzenie w przypadku małp jest, według przedstawionego przez Eddingtona obrazu, w istocie niemożliwy i można bezpiecznie powiedzieć, że nigdy nie wystąpi.

Geneza i „La biblioteca total” W eseju z 1939 roku zatytułowanym La biblioteca total (Biblioteka zupełna) argentyński pisarz Jorge Luis Borges prześledził historię koncepcji nieskończonej liczby małp, za punkt początkowy obierając czasy Metafizyki Arystotelesa. Wyjaśniając poglądy Leucypa, który utrzymywał, że świat powstał z losowej kombinacji atomów, Arystoteles zauważa, że same atomy są nierozróżnialne, a ich możliwe układy różnią się jedynie pozycją i ustawieniem. Grecki filozof porównuje to spostrzeżenie do stwierdzenia, że tragedia i komedia składają się z tych samych „atomów”, to znaczy z tych samych liter. Trzy wieki później w De natura deorum (O naturze bogów) Cyceron polemizował z tak ujętym „atomistycznym” światopoglądemMarcus Tullius Cicero, De natura deorum.:

Borges, śledząc historię dyskursu, zauważył zmianę języka używanego do opisu badanej koncepcji, zapoczątkowaną w czasach Blaise’a Pascala i Jonathana Swifta. Do roku 1939 twierdzenie miało bowiem postać: „Jeśli dać połowie tuzina małp maszyny do pisania, to w nieskończenie długim czasie stworzą wszystkie książki z British Museum”„That a half-dozen monkeys provided with typewriters would, in a few eternities, produce all the books in the British Museum.”. (do czego Borges dodaje, że „ściśle rzecz ujmując, wystarczyłaby jedna nieśmiertelna małpa”„Strictly speaking, one immortal monkey would suffice.”.). Borges wyobraża sobie następnie zawartość „zupełnej biblioteki”, która powstałaby przy takim przedsięwzięciu posuniętym do skrajnościBorges, Jorge Luis. La biblioteca total, 1939. Przekład Eliot Weinberger. W Selected Non-Fictions (Penguin: 1999), .:

Zastosowania Ewolucja thumb|upright|Thomasowi Huxleyowi błędnie przypisuje się sformułowanie wariantu twierdzenia. mały|240x240px|James Hopwood Jeans błędnie przypisał Thomasowi Huxleyowi wariant twierdzenia. Rywal Eddingtona, James Jeans, w swojej książce The Mysterious Universe z 1931 roku przypisał historię o małpach Huxleyowi, mając prawdopodobnie na myśli Thomasa Henry’ego Huxleya. Przypisywane Huxleyowi autorstwo jednak nie było zgodne z prawdą .

Do dziś zdarzają się przypadki przypisywania użycia tego przykładu przez Huxleya w debacie dotyczącej dzieła O powstawaniu gatunków Karola Darwina, prowadzonej z anglikańskim biskupem oksfordzkim . Debata ta odbyła się na spotkaniu British Association for the Advancement of Science () w Oksfordzie, 30 czerwca 1860 roku. Fakt użycia porównania procesu ewolucji do małp jest nie tylko niepotwierdzony, ale wręcz samo urządzenie, pojawiające się w przypisanym Huxleyowi stwierdzeniu — maszyna do pisania — nie było jeszcze znane w roku 1860. Naczelne były jednak drażliwym tematem z innych względów, a debata między Huxleyem a Wilberforce’em odwoływała się w swym przebiegu również do małp: biskup spytał, czy Huxley wywodził się od małpy w linii męskiej, czy żeńskiej, na co Huxley odparł, że woli być potomkiem małpy niż kogoś, kto używa tak nieuczciwych argumentów, jak biskup Dostępne także on-line (dostęp 2007-03-07)..

Pomimo błędnego przypisania, argument małpy z maszyną do pisania jest obecnie często przytaczany w sporach dotyczących ewolucji. Przykładowo , jako chrześcijański apologeta, twierdzi, że nawet, gdyby małpa przypadkowo napisała tekst identyczny z oryginalnym tekstem Hamleta, to i tak nie powiodłoby jej się stworzenie nowego Hamleta. Zabrakłoby jej bowiem intencji do komunikacji towarzyszącej procesowi tworzenia dzieła. Zdaniem Powella takie stwierdzenie prowadzi bezpośrednio do wniosku, że sama natura — bez udziału Boga — nie byłaby w stanie wykształcić informacji zawartej w DNA. Powszechniejszy pogląd reprezentuje John MacArthur, który twierdzi, że genetyczne mutacje potrzebne do uzyskania tasiemca z ameby są równie mało prawdopodobne, co napisanie przez małpę monologów Hamleta, a co za tym idzie — argumenty przeciwko ewolucji całego życia są niemożliwe do przezwyciężenia.

thumb|upright|left|Richard Dawkins Ewolucjonista Richard Dawkins posłużył się koncepcją piszących małp w swojej książce z 1986 roku „Ślepy zegarmistrz” by zademonstrować możliwości doboru naturalnego w zakresie tworzenia złożonych form biologicznych poprzez losowe mutacje. W opisywanym przez siebie eksperymencie Dawkins używa swojego , by wytworzyć kwestię Hamleta „methinks it is like a weasel”Methinks it is like a weasel – Hamlet określa wygląd obłoku jako podobny do łasicy. poprzez pisanie losowych liter, ale z zachowaniem zgodnych z oryginałem części. Istotą jest więc nie generowanie losowego ciągu znaków, lecz wyłuskiwanie informacji przez dobór naturalny.

Inną podstawą do odrzucenia analogii między ewolucją i piszącą małpą jest fakt, że małpa pisze jednocześnie tylko jedną literę oraz czyni to niezależnie od innych napisanych już liter. Hugh Petrie uważa, że potrzebny jest bardziej skomplikowany model, w tym przypadku nie w dziedzinie biologii, a ewolucji idei:

right|70px|resize

, wskazując na niewykonalność klasycznego zadania postawionego małpom, uważa, że istnieje warta uwagi analogia między pismem a zwierzęcym genomem w takim sensie, że oba mają „kombinacyjne, hierarchiczne budowy”, które znacznie zawężają olbrzymią liczbę kombinacji na poziomie alfabetu.

Literatura R. G. Collingwood spierał się w 1938 roku, że sztuka nie może powstawać przypadkowo i sarkastycznie napisał na marginesie swoich recenzjiThe Principles of Art s.126, streszczona i z cytatami w :

Nelson Goodman przyjął przeciwną pozycję, ilustrując razem z Catherine Elgin swoje racje przykładem opowiadania Jorge Borgesa Pierre Menard, autor del Quijote (Pierre Menard, autor Don Kichota)„Pierre Menard, autor del Quijote” to opowiadanie o fikcyjnym autorze (Pierre Menard), który pisze tekst Don Kichota identyczny z tym Cervantesa, ale przez narratora-recenzenta postrzegany jako dużo głębszy i bogatszy.: