W analizie funkcjonalnej (gałąź matematyki) przestrzeń Hilberta z jądrem reprodukującym (ang. Reproducing Kernel Hilbert Space, RKHS) jest przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym funkcji określonych na zbiorze U o wartościach w ciele liczb rzeczywistych lub zespolonych, w której wszystkie funkcjonały ewaluacji, tzn. funkcjonały
są ciągłe, tzn. dla każdego istnieje taka stała że
gdzie stała nie zależy of wyboru funkcji
Z grubsza oznacza to, że jeśli dwie funkcje oraz w przestrzeni Hilberta „leżą blisko siebie” w normie, tzn. jest małe, to oraz są również „punktowo bliskie”, tj. jest małe. Odwrotność nie musi być prawdziwa.
Jeśli funkcjonały ewaluacji są ciągłe, to na mocy Twierdzenia Riesza dla każdego istnieje takie że
dla każdej funkcji
Funkcję określoną w następujący sposób:
nazywamy jądrem reprodukującym przestrzeni Funkcja ta posiada własność reprodukowania, tzn. zachodzi
dla każdych .
Jeśli przestrzeń Hilberta funkcji posiada jądro reprodukujące, to jest ono wyznaczone jednoznacznie. Ponadto każda skończeniewymiarowa przestrzeń Hilberta funkcji jest przestrzenią Hilberta z jądrem reprodukującym. Istotnie, każdy operator liniowy z przestrzeni unormowanej skończonego wymiaru w przestrzeń unormowaną skończonego wymiaru jest ciągły, a zatem w szczególności ciągłe są również wszystkie funkcjonały ewaluacji.
Żeby w ogóle pojęcie funkcjonału ewaluacji było dobrze określone, musimy mieć do czynienia z przestrzenią Hilberta funkcji. W szczególności przestrzeń nie jest przestrzenią funkcji, lecz klas, gdzie dwie funkcje należą do jednej klasy wtedy i tylko wtedy, gdy różnią się na zbiorze miary Lebesgue’a równej zero, z czego wynika w szczególności, że pojęcie wartości dla elementu w punkcie nie ma sensu.
Przykłady Przestrzeń Hilberta lub z naturalnym iloczynem skalarnym
dla
może być traktowana jako przestrzeń Hilberta funkcji określonych na zbiorze o wartościach w lub odpowiednio. Przestrzeń taka wyposażona jest w jądro reprodukujące
gdzie:
Innym przykładem przestrzeni Hilberta z jądrem reprodukującym jest przestrzeń składająca się z funkcji holomorficznych i całkowalnych z kwadratem w sensie miary Lebesgue’a na obszarze Jądro reprodukujące takiej przestrzeni nazywa się jądrem Bergmana. Jeśli jest kołem o środku w zerze i promieniu 1 w to jądro Bergmana przestrzeni wyraża się wzorem .
Opisano także przykłady przestrzeni Hilberta funkcji, które nie posiadają jądra reprodukującego, tj. takich przestrzeni Hilberta, dla których funkcjonały ewaluacji nie są ciągłe.
Przypisy
Kategoria:Przestrzenie Hilberta