Istotnie, każdy operator liniowy z przestrzeni unormowanej skończonego wymiaru w przestrzeń unormowaną skończonego wymiaru jest ciągły, a zatem w szczególności ciągłe są również wszystkie funkcjonały ewaluacji.
Żeby w ogóle pojęcie funkcjonału ewaluacji było dobrze określone, musimy mieć do czynienia z przestrzenią Hilberta funkcji. W szczególności przestrzeń nie jest przestrzenią funkcji, lecz klas, gdzie dwie funkcje należą do jednej klasy wtedy i tylko wtedy, gdy różnią się na zbiorze miary Lebesgue’a równej zero, z czego wynika w szczególności, że pojęcie wartości dla elementu w punkcie nie ma sensu.
Przykłady Przestrzeń Hilberta lub z naturalnym iloczynem skalarnym
dla
może być traktowana jako przestrzeń Hilberta funkcji określonych na zbiorze o wartościach w lub odpowiednio. Przestrzeń taka wyposażona jest w jądro reprodukujące
gdzie:
Innym przykładem przestrzeni Hilberta z jądrem reprodukującym jest przestrzeń składająca się z funkcji holomorficznych i całkowalnych z kwadratem w sensie miary Lebesgue’a na obszarze Jądro reprodukujące takiej przestrzeni nazywa się jądrem Bergmana. Jeśli jest kołem o środku w zerze i promieniu 1 w to jądro Bergmana przestrzeni wyraża się wzorem .
Opisano także przykłady przestrzeni Hilberta funkcji, które nie posiadają jądra reprodukującego, tj. takich przestrzeni Hilberta, dla których funkcjonały ewaluacji nie są ciągłe.
Przypisy
Kategoria:Przestrzenie Hilberta