Uogólniona hipoteza Riemanna (ang. generalized Riemann hypothesis, GRH, nie mylić z: grand Riemann hypothesis) – hipoteza z zakresu teorii liczb będąca uogólnieniem hipotezy Riemanna. Oba problemy dotyczą liczb pierwszych. Pierwotna hipoteza Riemanna dotyczy jedynie rozmieszczenia zer funkcji zeta Riemanna, uogólniona hipoteza zaś postuluje to samo dla znacznie szerszej klasy funkcji L Dirichleta. Różnica objawia się tym, że hipoteza Riemanna w równoważnej postaci mówi o szacowaniu liczby wszystkich liczb pierwszych w danym przedziale, a uogólniona hipoteza Riemanna – o liczbie liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych.

Treść hipotezy Uogólnioną hipotezę Riemanna po raz pierwszy sformułował najprawdopodobniej Adolf Piltz w 1884 r.

Niech będzie charakterem Dirichleta modulo Jest to całkowicie multiplikatywna funkcja arytmetyczna, spełniająca warunki oraz jeśli . Funkcję L Dirichleta definiujemy jako

dla (gdzie jest to szereg zbieżny) oraz jako przedłużenie analityczne tej funkcji na całą płaszczyznę zespoloną. Wówczas, jeśli nie jest ujemną liczbą rzeczywistą, to wtedy i tylko wtedy, gdy

Przypadek stałego charakteru to klasyczna hipoteza Riemanna.

Liczby pierwsze w ciągach arytmetycznych Znaczenie uogólnionej hipotezy Riemanna ujawnia się przy próbach dowodzenia jak najdokładniejszych szacowań na liczbę liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych. Oznaczmy przez liczbę liczb pierwszych Zakładając prawdziwość GRH, można wykazać, że

gdzie oznacza logarytm całkowy, to tocjent Eulera, a w tym wypadku oznacza logarytm naturalny. Powyższa zależność wynika z postaci drugiej funkcji Czebyszewa,

gdzie to funkcja von Mangoldta. Dla i funkcję tę można wyrazić jako

gdzie oznacza sumę po zerach funkcji na

Dokładność szacowania Błąd występujący w przypadku GRH jest o wiele mniejszy niż inne znane wyniki, takie jak twierdzenie Dirichleta czy twierdzenie Siegela-Walfisza. Ze względu na tę dokładność GRH wykorzystuje się często przy warunkowych dowodach innych twierdzeń. Czasami jednak okazuje się, że ten wynik można zastąpić wynikiem „uśrednionym”, tj. twierdzeniem Bombieriego-Winogradowa.

Powyższe mówi, że dla stałej istnieje stała taka, że dla zachodzi

Wnioski z hipotezy Oprócz samego szacowania funkcji prawdziwość uogólnionej hipotezy Riemanna pociąga za wiele innych twierdzeń.

Jeśli GRH jest prawdą, to każda liczba pierwsza posiada pierwiastek pierwotny (generator grupy multiplikatywnej) wielkości .

Słaba hipoteza Goldbacha jest wnioskiem z GRH.

Przypisy

Linki zewnętrzne Riemann hypothesis, generalized , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].

Kategoria:Otwarte problemy matematyki Kategoria:Otwarte problemy teorii liczb Kategoria:Analityczna teoria liczb Kategoria:Bernhard Riemann