prawo|mały| A=M=0, K=C=1, B=3, ν=0,5, Q=-0,5 prawo|mały| Efekt zmiany parametru A. Wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1. prawo|mały| Efekt zmiany parametru B. A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1. prawo|mały| Efekt zmiany parametru C. A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1. prawo|mały| Efekt zmiany parametru K. A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1. prawo|mały| Efekt zmiany parametru Q. A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1. prawo|mały| Wpływ zmiany parametru . A = 0, wszystkie pozostałe parametry wynoszą 1. Uogólniona funkcja (lub krzywa) logistyczna – funkcja generująca krzywe w kształcie litery S. Jest rozszerzeniem funkcji logistycznej. Została opracowana jako model wzrostu populacji i rozprzestrzeniania się zjawisk przez biologa F. J. Richardsa w 1959, stąd czasem nazywana jest krzywą Richardsa.

Definicja Uogólniona funkcja logistyczna ma następującą postać:

Gdzie to wybrana miara badanego zjawiska, zaś to czas. Krzywa ma sześć parametrów:

– lewa asymptota pozioma; – prawa asymptota pozioma, jeżeli ; jeśli i , nazywa się pojemnością środowiska; – tempo wzrostu; – parametr wpływający na to, w pobliżu której asymptoty występuje maksymalny wzrost. – parametr powiązany z wartością – parametr zazwyczaj przyjmujący wartość 1. W przeciwnym razie prawa asymptota to

Równanie może również być zapisane w formie:

gdzie może być traktowane jako moment początkowy, w którym .

Wreszcie, zapis zawierający zarówno parametr , jak i może okazać się wygodny:

Takie sformułowanie ułatwia ustawienie zarówno czasu początkowego, jak i wartości w tym czasie.

Jeżeli , otrzymamy funkcję logistyczną z punktem przegięcia w czasie .

Równanie różniczkowe Szczególnym przypadkiem uogólnionej funkcji logistycznej jest:

,

co jest rozwiązaniem równania różniczkowego Richardsa (RDE):

z warunkiem początkowym

gdzie

pod warunkiem że i

Klasyczne logistyczne równanie różniczkowe jest szczególnym przypadkiem powyższego równania, gdzie = 1, natomiast krzywą Gompertza można odzyskać w granicy pod warunkiem że:

W rzeczywistości dla małego

Równanie różniczkowe Richardsa umożliwia modelowanie wielu zjawisk wzrostu, pojawiających się w takich dziedzinach, jak onkologia i epidemiologia.

Gradient uogólnionej funkcji logistycznej Przy estymacji parametrów na podstawie danych często konieczne jest obliczenie pochodnych cząstkowych funkcji logistycznej względem parametrów w danym punkcie danych (patrz). Jeżeli , mamy:

Specjalne przypadki Następujące funkcje są konkretnymi przypadkami krzywych Richardsa:

funkcja logistyczna krzywa Gompertza

Przypisy

Bibliografia

Kategoria:Funkcje matematyczne