Jednoparametrowa półgrupa (ang. one-parameter semigroup) – półgrupa spełniająca uogólnione równanie funkcyjne Cauchy'ego.
Równanie funkcyjne Cauchy'ego
Określenie równanie funkcyjne Cauchy'ego pierwotnie odnosi się do równania funkcyjnego funkcji ,
,
gdzie zbiór oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nieujemnych.
Uogólnione równanie W uogólnionej postaci równanie funkcyjne Cauchy'ego opisuje wszystkie odwzorowania z liczb nieujemnych w zbiór ograniczonych operatorów liniowych.
Niech będzie zespoloną przestrzenią Banacha z normą oraz niech oznacza zbiór wszystkich ograniczonych operatorów liniowych , gdzie ograniczoność rozumiemy w sensie normy operatorowej .
Powiemy, że odwzorowanie spełnia uogólnione równanie funkcyjne Cauchy'ego, jeśli
,
przy czym przez rozumiemy złożenie operatorów i , a oznacza odwzorowanie identycznościowe na .
Takie równanie jest naturalnym uogólnieniem, ponieważ jeśli zbiór liczb rzeczywistych potraktujemy jako przestrzeń Banacha nad zbiorem liczb nieujemnych, to mnożenie liczby przez liczbę możemy traktować jako działanie operatora liniowego .
Definicja Rodzinę ograniczonych operatorów liniowych na przestrzeni Banacha spełniającą uogólnione równanie funkcyjne Cauchy'ego nazywamy jednoparametrową półgrupą. Jeśli równanie jest spełnione dla wszystkich , to nazywamy jednoparametrową grupą.
Przykłady
Przestrzenie skończenie wymiarowe Jeśli jest skończenie wymiarową przestrzenią Banacha oraz , to jako jednoparametrową półgrupę możemy zadać , gdzie
.
Powyższy szereg eksponenty macierzy jest zbieżny, ponieważ
w normie operatorowej, a podany po prawej szereg jest ciągiem Cauchy'ego, więc cały szereg również jest ciągiem Cauchy'ego, dlatego musi być zbieżny w przestrzeni Banacha.
spełnia równanie funkcyjne, ponieważ szereg, jakim jest zadany jest zbieżny bezwzględnie (w normie operatorowej) i można udowodnić, że jest iloczynem Cauchy'ego i . Ponadto jest ciągły, ponieważ
,
więc wystarczy żeby , a to prawda, ponieważ
.
W powyższym przypadku mówimy, że operator generuje jednoparametrową półgrupę .
Rodzaje półgrup
C0-półgrupa Jednoparametrową półgrupę nazwiemy C0-półgrupą lub silnie ciągłą jednoparametrową półgrupą, jeśli spełnia uogólnione równanie funkcyjne Cauchy'ego oraz dodatkowy warunek silnej ciągłości,
dla wszystkich , gdzie jest normą przestrzeni Banacha .
Jednostajnie ciągła półgrupa Jednoparametrową półgrupę nazywamy jednostajnie ciągłą (lub normowo ciągłą), jeśli odwzorowanie jest ciągłe w jednostajnej topologii operatorowej.
Przypisy
Kategoria:Analiza funkcjonalna