mały|Czworokąty wpisane w okrąg Czworokąt cykliczny, czworokąt wpisany w okrąg – czworokąt, którego wszystkie wierzchołki leżą na jednym okręgu. Odcinki łączące kolejne wierzchołki są wtedy cięciwami tego okręgu. Okrąg ten nazywamy okręgiem opisanym na czworokącie.
Definicja Czworokąt nazywamy cyklicznym, jeśli istnieje okrąg, na którym leżą wszystkie jego wierzchołki.
Warunek cykliczności czworokąta mały|Ilustracja dowodu Czworokąt jest cykliczny wtedy i tylko wtedy, gdy suma miar jego kątów przeciwległych wynosi .
Dowód Rozważmy czworokąt cykliczny o środku . Wówczas, zgodnie z twierdzeniem o kącie wpisanym, oraz .
oraz tworzą kąt pełny, więc .
Po uproszczeniu oraz zgodnie z symetrią równania , q.e.d.
Własności Suma miar kątów przeciwległych wynosi : . Każdy kwadrat, prostokąt oraz trapez równoramienny jest czworokątem cyklicznym. Zachodzi zależność (twierdzenie Ptolemeusza): . Jeśli przekątne przecinają się w punkcie , to: (twierdzenie o cięciwach). Czworokąt cykliczny ma największe pole spośród wszystkich czworokątów o danych długościach boków.
Pole Pole czworokąta cyklicznego o bokach , , , wyraża się wzorem Brahmagupty: ,
gdzie jest połową obwodu.
Zobacz też wielokąt cykliczny Przypisy
Kategoria:Geometria Kategoria:Wielokąty