mały|Cztery wzajemnie styczne okręgi – ilustracja do twierdzenia Kartezjusza. Twierdzenie Kartezjusza – twierdzenie opisujące zależność między krzywiznami czterech wzajemnie stycznych okręgów.
Niech oznaczają krzywizny okręgów, gdzie . Wtedy zachodzi .
Jeżeli znane są trzy okręgi, to krzywizna czwartego spełnia .
Dowód Rozwijamy lewą stronę: .
Porównujemy z prawą stroną: .
Po uproszczeniu .
Traktujemy jako niewiadomą i przekształcamy do postaci równania kwadratowego: .
Rozwiązując równanie, dostajemy , q.e.d.
Przypisy
Kategoria:Twierdzenia o okręgach Kategoria:Geometria analityczna