thumb|Diagram Penrose’a płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Nieskończoność znajduje się na brzegu skończonego rombu. Diagram Penrose’a (, także diagram Penrose’a–Cartera lub diagram Cartera–Penrose’a) – dwuwymiarowy diagram używany w ogólnej teorii względności do opisu globalnej struktury przyczynowej czasoprzestrzeni. Powstaje przez konforemne przeskalowanie metryki. Takie przeskalowanie przenosi nieskończone obszary czasu i przestrzeni na skończoną granicę rysunku. Zachowuje przy tym kierunki promieni świetlnych. Dzięki temu linie świetlne pozostają nachylone pod kątem 45°, a z diagramu można odczytać, które zdarzenia da się połączyć sygnałem.

Diagram stosuje się do opisu konforemnej nieskończoności, horyzontów zdarzeń, osobliwości i globalnej struktury czarnych dziur. Zachowuje relacje przyczynowe, ale nie jest rysunkiem w skali. Nie przedstawia wiernie odległości, czasów własnych ani wartości krzywizny.

Nazwa upamiętnia Rogera Penrose’a, który w latach 60. XX wieku rozwinął konforemne ujęcie nieskończoności w teorii względności. W wariantach Penrose’a–Cartera i Cartera–Penrose’a odnosi się także do , stosującego pokrewne diagramy w analizie dokładnych rozwiązań równań Einsteina. W literaturze spotyka się również nazwę „diagram konforemny”, ale nie każdy diagram czasoprzestrzenny jest diagramem Penrose’a.

Idea Diagram Penrose’a jest rozwinięciem diagramu Minkowskiego. W zwykłym diagramie Minkowskiego jedna oś reprezentuje czas, a druga wybraną współrzędną przestrzenną. Nieskończone przedziały czasu i odległości pozostają wtedy nieskończone także na rysunku. Diagram Penrose’a kompaktyfikuje te przedziały. Obszary odległe w nieskończoności są odwzorowane na skończony brzeg diagramu, ale kierunki zerowe nadal zachowują kąt 45°. Są to kierunki promieni świetlnych i innych sygnałów poruszających się z prędkością światła.

Konforemne przeskalowanie zachowuje stożki świetlne, a więc strukturę przyczynową. Nie zachowuje jednak odległości, czasów własnych ani skali krzywizny. Z tego powodu diagram nie jest mapą geometryczną w sensie metrycznym. Służy przede wszystkim do pokazania, które punkty lub obszary mogą wysyłać i odbierać sygnały. Pozwala też zobaczyć położenie horyzontów oraz rodzaj granic danej czasoprzestrzeni.

W czasoprzestrzeniach sferycznie symetrycznych jeden punkt diagramu zwykle nie oznacza pojedynczego punktu przestrzeni, lecz całą dwusferę o ustalonym promieniu i czasie. Dwie współrzędne kątowe są wtedy pomijane, a rysunek przedstawia tylko część radialno-czasową. Ta redukcja czyni diagram czytelnym, ale wymaga ostrożności przy interpretowaniu środkowej osi, horyzontów i osobliwości.

Konstrukcja w czasoprzestrzeni Minkowskiego Najprostszy przykład dotyczy dwuwymiarowego przekroju czasoprzestrzeni Minkowskiego. Dla współrzędnych i przy jednostkach metryka ma postać Wprowadza się wtedy współrzędne zerowe i :

.

Promienie świetlne mają wtedy stałe albo stałe Następnie nieograniczone współrzędne zerowe przekształca się do skończonego przedziału, na przykład przez funkcję :

.

Ostatni krok polega na powrocie do współrzędnych czasoprzestrzennych diagramu, na przykład i Obszar nieskończonej czasoprzestrzeni płaskiej mieści się wtedy w skończonym rombie, a kierunki zerowe nadal są liniami nachylonymi pod kątem 45°.

W tym dwuwymiarowym przypadku diagram ma postać pełnego rombu. Diagram radialny dla czasoprzestrzeni sferycznie symetrycznych interpretuje się inaczej. Zamiast współrzędnej występuje w nim promień a część kątowa metryki jest pomijana. Jeden punkt z oznacza wtedy całą dwusferę. Brzegi takiego przekroju należy odczytywać z uwzględnieniem osi dlatego nie jest to po prostu pełny romb znany z modelu 1+1.

Granice i notacja Standardowa notacja wyróżnia pięć podstawowych składników granicy asymptotycznie płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Punkt oznacza przeszłą nieskończoność czasową, przyszłą nieskończoność czasową, a nieskończoność przestrzenną. Dwie ukośne granice, i oznaczają odpowiednio przeszłą i przyszłą . Często czyta się je jako „scri minus” i „scri plus”.

Ta notacja jest szczególnie użyteczna przy opisie promieniowania i rozpraszania. Promień świetlny przychodzący z daleka zaczyna się na a promień uciekający do dalekiego obserwatora kończy się na Z kolei masywny obserwator idealizowany jako cząstka poruszająca się przez nieskończony czas zaczyna i kończy swoją linię świata odpowiednio w i .

Granica diagramu może mieć inny charakter w czasoprzestrzeniach, które nie są asymptotycznie płaskie. Dodatnia lub ujemna stała kosmologiczna zmienia geometrię nieskończoności. Dlatego diagramy Penrose’a przestrzeni de Sittera i anty-de Sittera mają granice o innym charakterze przyczynowym niż diagram Minkowskiego. Ta zmienność jest jednym z powodów, dla których diagramy konforemne są użyteczne w klasyfikowaniu globalnej struktury rozwiązań równań Einsteina.

Czarne dziury thumb|Diagram Penrose’a maksymalnie przedłużonej czasoprzestrzeni Schwarzschilda. Ukośne krawędzie obszarów odpowiadają horyzontom, a faliste poziome granice oznaczają osobliwości.

Diagramy Penrose’a są często stosowane do analizy czarnych dziur. Pokazują relację między horyzontem zdarzeń, zewnętrznym regionem obserwatora i przyszłą osobliwością. W maksymalnym analitycznym przedłużeniu metryki Schwarzschilda horyzonty są liniami zerowymi nachylonymi pod kątem 45°. Przyszła osobliwość jest natomiast granicą przestrzeniopodobną. Po przekroczeniu przyszłego horyzontu każda przyszłościowo skierowana linia czasowa lub zerowa kończy się na tej osobliwości.

Maksymalnie przedłużony diagram Schwarzschilda zawiera także region interpretowany jako biała dziura. Obejmuje również drugi asymptotycznie płaski obszar zewnętrzny, połączony z pierwszym przez most Einsteina-Rosena. Nie jest to model astrofizycznej czarnej dziury powstałej w realistycznym kolapsie gwiazdy. W takim przypadku część z białą dziurą i drugim zewnętrznym wszechświatem jest zastępowana przez wnętrze zapadającej się materii.

Diagram Penrose’a dla rozwiązania Schwarzschilda można traktować jako konforemnie skompaktyfikowaną postać diagramu opartego na . Współrzędne te usuwają pozorną osobliwość współrzędnościową na horyzoncie Schwarzschilda. Diagram Penrose’a dodatkowo przenosi nieskończoności zewnętrznych obszarów na skończony brzeg. Dzięki temu na jednym rysunku widać regularność horyzontu oraz ograniczenie przyszłościowych trajektorii wewnątrz czarnej dziury.

W idealnych rozwiązaniach z ładunkiem lub rotacją diagramy Penrose’a zawierają dodatkowe horyzonty wewnętrzne oraz osobliwości o innym charakterze przyczynowym. Dotyczy to na przykład i metryki Kerra. Takie diagramy są cennymi narzędziami matematycznymi. Nie należy jednak automatycznie utożsamiać ich maksymalnych przedłużeń z realistycznym wnętrzem astrofizycznej czarnej dziury. Stabilność horyzontów wewnętrznych i struktura osobliwości zależą od zaburzeń oraz od efektów fizycznych pomijanych w idealnym rozwiązaniu. W przypadku zaburzonej naładowanej czarnej dziury klasycznym modelem takiej niestabilności jest inflacja masy przy horyzoncie wewnętrznym.

Zastosowania i ograniczenia Diagram Penrose’a pozwala szybko rozpoznać, czy dany obszar może wysłać sygnał do obserwatora w przyszłej nieskończoności. Pokazuje też, czy obszar znajduje się za horyzontem oraz czy przyszłościowo skierowane krzywe czasopodobne lub zerowe kończą się na osobliwości. Z tego powodu jest standardowym narzędziem w analizie globalnej struktury czasoprzestrzeni, asymptotycznej płaskości, promieniowania i czarnych dziur.

Ten sam język konforemnego przeskalowania jest ważny w bardziej ogólnych rozważaniach o granicach czasoprzestrzeni, promieniowaniu i warunkach asymptotycznych. Diagram Penrose’a pozostaje jednak szkicem struktury przyczynowej, a nie pełnym opisem metryki ani dynamiki pola grawitacyjnego.

Ograniczeniem diagramu jest to, że zachowuje on przede wszystkim informacje przyczynowe. Nie pokazuje wiernie odległości, czasów własnych, skali krzywizny ani sił pływowych. Różne czasoprzestrzenie mogą mieć podobne diagramy przyczynowe. Fizycznie istotne szczegóły mogą wtedy wymagać analizy pełnej metryki, równań ruchu lub stabilności rozwiązania.

Diagramy są też konwencjonalnymi rysunkami dwuwymiarowymi. Wybór pomijanej współrzędnej przestrzennej, normalizacja kątów i położenie podpisów zależą od autora. W bardziej złożonych czasoprzestrzeniach jeden diagram może przedstawiać tylko pewien przekrój albo wyidealizowaną część rozwiązania. Dlatego poprawna interpretacja wymaga znajomości założeń, z których diagram został skonstruowany.

Zobacz też stożek świetlny

Przypisy

Kategoria:Ogólna teoria względności Kategoria:Czasoprzestrzeń Kategoria:Fizyka matematyczna