Krzywa Jordana – homeomorficzny obraz okręgu na płaszczyźnie. Funkcjonuje też nieco słabsza definicja: Odwzorowanie ciągłe przedziału w płaszczyznę nazywa się krzywą na płaszczyźnie. Jeśli to tę krzywą nazywa się zamkniętą, a jeśli ponadto jest ona różnowartościowa w przedziale nazywana jest ona krzywą Jordana.
W praktyce krzywą Jordana nazywa się też obraz tej krzywej na płaszczyźnie i ten obiekt jest homeomorficzny z okręgiem.
Twierdzenia thumb|400px|Który z zaznaczonych punktów należy do wnętrza wielokąta? Z krzywą Jordana związanych jest kilka twierdzeń.
Twierdzenie o krzywej Jordana Każda krzywa Jordana rozdziela płaszczyznę na dwa odrębne obszary i jest ich wspólnym brzegiem.
Twierdzenie to było przez długi czas uważane za oczywiste, po raz pierwszy zapisał je jednak Camille Jordan w 1887 roku, dzięki czemu nosi jego imię. Dosyć łatwo je udowodnić dla krzywych gładkich lub odcinkami gładkich, jednak dla krzywych w żadnym punkcie niegładkich jest to zadanie trudne. Pierwszy poprawny dowód twierdzenia Jordana podał w roku 1905 Oswald Veblen.
Twierdzenie Jordana-Schönfliesa Dla każdej krzywej Jordana istnieje homeomorfizm płaszczyzny na siebie, który przeprowadza tę krzywą na okrąg.
Twierdzenie Jordana-Brouwera Każda -wymiarowa sfera zanurzona w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej rozdziela tę przestrzeń na dwa rozłączne obszary.
Twierdzenie to nie daje się uogólnić do odpowiednika twierdzenia Jordana-Schönfliesa dla wymiarów – istnieją bryły, których powierzchnia jest homeomorficzna ze sferą, jednak zewnętrze nie jest homeomorficzne z zewnętrzem kuli. Pierwszą odkrytą taką bryłą była rogata sfera Alexandera.
Zobacz też łuk zwykły (łuk Jordana)
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Grant Sanderson, Who cares about topology? (Inscribed rectangle problem) , kanał „3blue1brown” na YouTube, 4 listopada 2016 [dostęp 2021-03-15] – materiał o problemie prostokątów wpisanych w krzywe Jordana. [dostęp 2026-01-14].
Kategoria:Zamknięte krzywe płaskie Kategoria:Przestrzenie topologiczne