Relacja przeciwsymetryczna, relacja asymetryczna – każda relacja , posiadająca taką własność (dla każdej pary z odpowiedniego zbioru ), że:
jeżeli relacja zachodzi dla pary (co piszemy: ); to nie zachodzi dla pary (co piszemy: ) .
Uwaga. Posługując się zapisem przy użyciu kwantyfikatorów, powyższą definicję możemy wysłowić w następujący sposób:
Relację dwuczłonową nazywa się przeciwsymetryczną, gdy:
.
Własności
Można udowodnić, że każdy z poniższych zestawów warunków jest zestawem wystarczającym dla tego, aby dana relacja była relacją przeciwsymetryczną:
( jest przeciwzwrotna) oraz ( jest antysymetryczna). Uwaga. Okazuje się, że ta koniunkcja stanowi także warunek konieczny dla tego, aby była przeciwsymetryczna; ( jest przeciwzwrotna) oraz ( jest przechodnia); ( jest antyprzechodnia) oraz ( jest antysymetryczna), przy czym antyprzechodniość rozumiemy jako własność: . Uwaga. Warunek antyprzechodniości (ang. antitransitivity) chcemy odróżniać od warunku nieprzechodniości (ang. intransivity), rozumianego w następujący sposób: , co równoważnie można zapisać jako: . Warunek antyprzechodniości jest zatem silniejszy, od warunku nieprzechodniości. ( jest antyprzechodnia) oraz ( jest przechodnia).
Przykłady W matematyce: relacja większości w zbiorze liczb rzeczywistych ścisła inkluzja (zawieranie się) zbiorów relacja pusta jest jednocześnie przeciwsymetryczna i symetryczna. Poza matematyką: bycie satelitą – nie można być satelitą własnego satelity pasożytnictwo – nie można być pasożytem własnego pasożyta rodzicielstwo i szerzej potomstwo – nie można być potomkiem własnych dzieci Relacje, które nie są ani symetryczne, ani przeciwsymetryczne lub antysymetryczne: Bycie bratem – nie jest symetryczna dla rodzeństwa różnej płci, ale może być symetryczna dla dwóch braci. Jednocześnie symetria może zachodzić dla dwóch różnych osób.
Przypisy
Kategoria:Własności relacji dwuczłonowych