Wzory i definicje Krzywiznę krzywej płaskiej definiuje się jako:
Natomiast krzywiznę ze znakiem:
gdzie jest kątem pomiędzy stycznymi do krzywej na końcach łuku, a długością tego łuku.
Krzywizna okręgu jest w każdym punkcie jednakowa i równa odwrotności jego promienia.
Wzory na krzywiznę w punkcie są następujące: Dla krzywej określonej funkcją w układzie kartezjańskim:
Dla krzywej określonej parametrycznie w układzie kartezjańskim:
Dla krzywej określonej funkcją w układzie biegunowym:
Promieniem krzywizny krzywej w danym punkcie nazywana jest odwrotność jej krzywizny w tym punkcie, obliczonym jednym ze wzorów podanych powyżej:
Środkiem krzywizny krzywej w danym punkcie nazywany jest punkt leżący na normalnej do krzywej w punkcie po stronie jej wklęsłości w odległości od równej promieniowi krzywizny.
Wzory na współrzędne środka krzywizny w punkcie krzywej są następujące: Dla krzywej o równaniu
Dla krzywej o równaniach
Dowód thumb Krzywizna krzywej w punkcie jest równa granicy ilorazu kąta pomiędzy stycznymi poprowadzonymi w punktach i a długością łuku między a gdy
Kąt można inaczej zapisać jako różnicę kątów pomiędzy stycznymi:
Natomiast długość łuku jako całkę oznaczoną:
Wtedy, zważając na to, że
Ponieważ mamy do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym stosowana jest reguła de l’Hospitala:
Pochodna jest równa natomiast korzystając z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego:
Dla funkcji uwikłanej zamienia się na , przez co wzór przyjmuje następującą postać:
Jest wtedy jednak zależny zarówno od jak i
Podobny tok rozumowania występuje dla krzywych parametrycznych.
Inny dowód Krzywa dana w sposób jawny thumb|350px|Promień krzywizny krzywej
Dana jest krzywa płaskaFranciszek Leja, Geometria analityczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1954. o równaniu i ciągłych pochodnych Na krzywej wyróżnimy dwa jej punkty i Styczne do krzywej poprowadzone w tych punktach opisane są równaniami
Proste prostopadłe do tych stycznych w punktach zwane normalnymi, otrzymać można, zmieniając wartości współczynników kierunkowych w równaniach
Punkt w którym przecinają się te normalne, otrzymać można, rozwiązując układ równań
gdzie:
Dzieli się następnie licznik i mianownik przez i po przejściu do granicy (punkt zmierza do punktu ) otrzymane zostan proste wzory dla współrzędnych środka krzywizny krzywej w punkcie
gdzie:
Promień krzywizny krzywej otrzymać można z równania
Krzywa opisana parametrycznie Przez dwa punkty krzywej opisanej równaniami przechodzi sieczna dana równaniem lub
Dzieląc licznik i mianownik przez i przechodząc do granicy otrzymuje się
gdzie są pochodnymi względem parametru liczonymi w punkcie
Przez punkty prowadzi się dwie normalne o równaniach
Rozwiązaniem tych równań są współrzędne punktu w którym przecinają się proste normalne
gdzie:
Licznik i mianownik ułamka dzieli się przez i po przejściu do granicy otrzymane zostaną współrzędne środka krzywizny krzywej w jej punkcie
Promień krzywizny równy jest odległości punktów i
Krzywa jako funkcja uwikłana Dana jest krzywa o równaniu gdzie jest funkcją ciągłą wraz z pochodnymi cząstkowymi dwu pierwszych rzędów w otoczeniu punktu
Jeżeli to w otoczeniu punktu można funkcji nadać postać gdzie i
Równanie stycznej do krzywej przybiera teraz postać
a równania normalnych w punktach
Po wprowadzeniu oznaczeń
rozwiązanie tych równań ma postać
Po przejściu do granicy otrzymane zostaną:
gdzie:
Promień krzywizny wyraża się wzorem
Przykłady Obliczanie krzywizny krzywej Lissajous opisanej równaniami:
Wartości poszczególnych pochodnych:
Krzywizna jako funkcja parametru
W szczególności dla okręgu krzywizna nie zależy od parametru
Natomiast dla elipsy krzywizna zależy od parametru
Uwaga W ogólnym przypadku krzywe Lissajous mają przecięcia (istnieją takie dla których ).
Zobacz też ewoluta ewolwenta łuk zwykły wzory Freneta
Przypisy
Linki zewnętrzne [dostęp 2025-07-21]. [dostęp 2025-07-21]. Osculating circle , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-05-28].
Kategoria:Geometria analityczna Kategoria:Parametry krzywych