Pochodna jest równa natomiast korzystając z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego:
Dla funkcji uwikłanej zamienia się na , przez co wzór przyjmuje następującą postać:
Jest wtedy jednak zależny zarówno od jak i
Podobny tok rozumowania występuje dla krzywych parametrycznych.
Inny dowód Krzywa dana w sposób jawny thumb|350px|Promień krzywizny krzywej
Dana jest krzywa płaskaFranciszek Leja, Geometria analityczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1954. o równaniu i ciągłych pochodnych Na krzywej wyróżnimy dwa jej punkty i Styczne do krzywej poprowadzone w tych punktach opisane są równaniami
Proste prostopadłe do tych stycznych w punktach zwane normalnymi, otrzymać można, zmieniając wartości współczynników kierunkowych w równaniach
Punkt w którym przecinają się te normalne, otrzymać można, rozwiązując układ równań
gdzie:
Dzieli się następnie licznik i mianownik przez i po przejściu do granicy (punkt zmierza do punktu ) otrzymane zostan proste wzory dla współrzędnych środka krzywizny krzywej w punkcie
gdzie:
Promień krzywizny krzywej otrzymać można z równania
Krzywa opisana parametrycznie Przez dwa punkty krzywej opisanej równaniami przechodzi sieczna dana równaniem lub
Dzieląc licznik i mianownik przez i przechodząc do granicy otrzymuje się