mały|Bijekcja umożliwia jednoczesne sparowanie wszystkich elementów odwzorowywanych zbiorów mały|Diagram przemienny ilustrujący bijekcje jako funkcje odwracalne

Funkcja wzajemnie jednoznaczna, bijekcja – wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między elementami dwóch zbiorów, czyli funkcja będąca jednocześnie injekcją i surjekcją (funkcją różnowartościową i funkcją „na”). Równoważnie: funkcja jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja do niej odwrotna – również i ona jest bijekcją; przy bijekcji obraz i przeciwobraz każdego singletonu również jest singletonem.

Bijekcje pozwalają zdefiniować rozmaite relacje równoważności między obiektami, m.in.: równoliczności zbiorów w kombinatoryce i teorii mnogościi, izomorfizmu struktur w algebrze abstrakcyjnej i teorii kategorii; homeomorfizmu, izometrii i dyfeomorfizmu przestrzeni w topologii.

Duże znaczenie odgrywają też bijekcje endofunkcyjne, tj. przekształcające zbiór w siebie (f:X→X). Bywają nazywane permutacjami – zwłaszcza dla zbiorów skończonych – i tworzą struktury znane jako grupy symetryczne; przekształcenia te pozwalają zdefiniować symetrię figur i innych obiektów. Bijekcje zbioru w siebie po nałożeniu dodatkowych warunków tworzą podgrupy grup symetrycznych, np. grupy alternujące, grupy automorfizmów, izometrii czy dyfeomorfizmów. Szczególnym rodzajem endobijekcji są też inwolucje i inne funkcje torsyjne (skończonego rzędu).

Termin bijekcja powstał najpóźniej w 1954 roku, kiedy pojawił się w pracy zespołu Nicolas Bourbaki Jeff Miller, Injection, surjection and bijection [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I) , MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2022-12-16]..

Przykłady Alfabet – ciąg liter danej ortografii, zawierający wszystkie z nich (surjektywność) i każdą dokładnie raz (iniektywność); listy obecności – ciągi wszystkich osób z ustalonego zbioru; zmiana systemu liczbowego – np. z dziesiętnego na rzymski lub binarny – to bijekcja między zbiorami napisów przedstawiających liczby; logarytm w dziedzinie rzeczywistej; dowolna iniekcja z przeciwdziedziną zawężoną do obrazu tej funkcji.

Bijekcje działające wewnątrz ustalonego zbioru: dowolna niestała funkcja liniowa (funkcja stopnia pierwszego) zmiennej rzeczywistej; tworzą one grupę afiniczną prostej rzeczywistej; niektóre inne wielomiany rzeczywiste stopnia nieparzystego, np. x3; homografie zmiennej rzeczywistej, również tworzące grupę; niektóre pierwiastniki, np. (x−1)1/3; sinus i tangens hiperboliczny.

Przykłady zawiera też artykuł o inwolucjach.

Grupa bijekcji

Rozważając zbiór wszystkich bijekcji ustalonego zbioru można przekonać się o tym, że: składanie funkcji jest działaniem dwuargumentowym w tym zbiorze, działanie to jest łączne, funkcja tożsamościowa jest elementem neutralnym tego działania, każda bijekcja ma jednoznacznie określoną do niej bijekcję odwrotną. W ten sposób zbiór bijekcji z działaniem ich składania spełnia aksjomaty grupy i nazywa się grupą bijekcji.

Tego rodzaju grupy były historycznie jednymi z pierwszych rozważanych grup. Okazuje się, że grupy bijekcji są modelem wszystkich możliwych grup abstrakcyjnych, tj. dowolną grupę można przedstawić w postaci pewnej grupy bijekcji (twierdzenie Cayleya).

Zobacz też Twierdzenie Cantora-Bernsteina-Schrödera – warunek równoważny na istnienie bijekcji.

Przypisy

Linki zewnętrzne Bijection , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-19].

W