Zbiór ograniczony – termin używany na określenie zbiorów w pewnym sensie małych. Dokładna definicja tego pojęcia zależy od kontekstu w którym jest ono wprowadzane.
Np. na prostej rzeczywistej ograniczone są przedziały liczbowe, które zadane są przez liczby skończone, np. lub Nieograniczone zaś są np. i cała prosta.
Porządki częściowe Niech będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Przypuśćmy też, że i Powiemy, że element jest ograniczeniem górnym zbioru jeśli element jest ograniczeniem dolnym zbioru jeśli .
Każdy element zbioru jest zarówno ograniczeniem dolnym, jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego.
Jeśli istnieje ograniczenie górne dla zbioru to mówimy iż zbiór ten jest ograniczony z góry, a jeśli istnieje ograniczenie dolne, to powiemy, że zbiór jest ograniczony z dołu.
Zbiory ograniczone to zbiory które mają obydwa ograniczenia, dolne i górne. Tak więc podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest on zawarty w pewnym przedziale.
W szczególności, podzbiór zbioru liczb rzeczywistych nazwiemy ograniczonym z góry (z dołu), jeżeli istnieje liczba większa (mniejsza) od wszystkich liczb tego zbioru, a jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest zawarty w pewnym skończonym przedziale.
Przestrzenie metryczne thumb|Ograniczony podzbiór płaszczyzny (u góry) oraz jej nieograniczony podzbiór (na dole)
Niech będzie przestrzenią metryczną. Podzbiór przestrzeni nazywany jest zbiorem ograniczonym (w ), jeżeli jest on zawarty w pewnej kuli. Równoważnie, jeżeli
Przestrzenie liniowo-topologiczne Niech będzie przestrzenią liniowo-topologiczną. Powiemy, że zbiór jest ograniczony w gdy dla każdego otoczenia zera istnieje że
Można wykazać, że jeśli jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to definicja ta jest równoważna definicji zbioru ograniczonego w sensie przestrzeni metrycznych.
Zobacz też kres dolny i górny lemat Kuratowskiego-Zorna zbiór całkowicie ograniczony
Przypisy
Linki zewnętrzne [dostęp 2022-10-09]. Bounded set , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
Kategoria:Topologiczne własności zbiorów Kategoria:Analiza matematyczna Kategoria:Przestrzenie liniowo-topologiczne Kategoria:Porządki