Plik:Golden ratio line2.svgZłoty podział odcinka thumb|Złoty prostokąt z dłuższym bokiem a i krótszym b, który złączony z kwadratem o boku długości a utworzy podobny złoty prostokąt o dłuższym boku a + b i krótszym a. Ilustruje to równanie
Złoty podział (), podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja (łac. ) – podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Rysunek obok ilustruje ten związek geometrycznie. Wyrażony algebraicznie:
Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ (czyt. „fi”). Jej wartość wynosi: Złota proporcja może być wyznaczona za pomocą ciągu kwadratowego, zaczynając od pierwszego wyrazu równego 1, następnie wyznaczając drugi wyraz gdzie stosunek albo (mnożąc przez ) daje: albo stąd równanie kwadratowe: Następnie, przez ciąg kwadratowy, dla dodatniego gdzie wynik dla wynosi: lub
Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych itp. Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory estetyczne. Stosowano go np. w planach budowli na Akropolu.
Co najmniej od XX wieku wielu artystów i architektów tworzyło swoje dzieła z zachowaniem złotego stosunku – szczególnie w formie złotego prostokąta, w którym stosunek dłuższego boku do krótszego jest równy złotej proporcji – zgodnie z poglądem, że takie proporcje wyglądają estetycznie (zobacz Zastosowania i obserwacje poniżej). Złoty prostokąt może być rozcięty na kwadrat i mniejszy prostokąt o tych samych proporcjach co rozcinany. Matematycy, począwszy od Euklidesa, badali złoty podział z powodu jego wyjątkowych i interesujących własności. Złoty podział jest także używany w analizie rynków finansowych, w strategiach takich jak zniesienia Fibonacciego ().
Złoty podział (łac. sectio aurea) jest często nazywany złotym stosunkiem lub złotym środkiemPiotr Sadowski, The Knight on His Quest: Symbolic Patterns of Transition in Sir Gawain and the Green Knight, Cranbury NJ: Associated University Presses, 1996.Richard A. Dunlap, The Golden Ratio and Fibonacci Numbers, World Scientific Publishing, 1997.. Inne nazwy obejmują złoty sposóbEuclid, Elements, Book 6, Definition 3., średni podział, boską proporcję, boski podział (łac. sectio divina), złotą proporcję, złote cięcieSummerson John, Heavenly Mansions: And Other Essays on Architecture (New York: W.W. Norton, 1963), s. 37. „I to samo stosuje się w architekturze do prostokąta reprezentującego te i inne stosunki (np. „złote cięcie”). Jedyna wartość tych stosunków to ich bogactwo intelektualne i sugerowanie rytmu w wykonaniu”., złotą liczbę i środek FidiaszaJay Hambidge, Dynamic Symmetry: The Greek Vase, New Haven CT: Yale University Press, 1920.William Lidwell, Kritina Holden, Jill Butler, Universal Principles of Design: A Cross-Disciplinary Reference, Gloucester MA: Rockport Publishers, 2003.Pacioli, Luca. De divina proportione, Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venice..
Wartość liczbowa Dwójkowo 1,1001111000110111011… Dziesiętnie 1,6180339887498948482… Szesnastkowo 1,9E3779B97F4A7C15F39… Ułamek łańcuchowy Ułamek zwykły Szereg nieskończony
Dwie wielkości i są w złotym stosunku jeżeli:
Jedna metoda znajdowania wartości to rozpoczęcie od lewej strony. Z rozdzielenia w powyższej równości dzielenia względem dodawania i podstawienie wynika
czyli
Mnożąc obustronnie przez otrzymujemy
Przegrupowując wyrazy, powyższą równość sprowadza się do postaci ogólnej równania kwadratowego:
Ma ono dwa rozwiązania rzeczywiste:
z których jedno jest dodatnie:
Czasami tym samym terminem określa się liczbę odwrotną:
Historia thumb|Matematyk Mark Barr zaproponował użycie pierwszej litery imienia greckiego rzeźbiarza Fidiasza, phi, do oznaczenia złotej liczby. Zazwyczaj używana jest mała litera (φ). Czasami, duża litera (Φ) oznacza Odwrotność złotego podziału, 1/φ. Złoty podział fascynował zachodnich intelektualistów o różnych profesjach od co najmniej 2400 lat. Według Maria Livia: thumb|Michael Maestlin po raz pierwszy opublikował dziesiętne przybliżenie złotego podziału w 1597 thumb|Trójkąt Keplera
Starożytni greccy matematycy rozpoczęli badania nad tym, co nazywamy dzisiaj złotym podziałem z powodu jego częstej obecności w geometrii. Podział linii w „złoty sposób” (złoty podział) jest istotny w geometrii foremnych pentagramów i pentagonów. Grecy zazwyczaj przypisywali odkrycie tego związku Pitagorasowi albo jego uczniom. Pentagram foremny ze wpisanym pentagonem był symbolem pitagorejczyków.
Elementy Euklidesa () podają pierwszą znaną zapisaną definicję pojęcia określanego dzisiaj jako złoty podział: „Prosta linia jest podzielona w złoty sposób, gdy stosunek całej linii do większego odcinka jest równy stosunkowi większego do mniejszego”. Euklides nie używa nigdzie nazwy z odniesieniem do złota (ta pojawi się dopiero w XIX w.), używa określenia „skrajne i średnia”, co zapewne ma odnosić się do stosunków jakie tworzą wartości powstałe w wyniku podziału (całość, część większa, część mniejsza), wśród których są skrajne (minimalna i maksymalna) oraz średnia. W Elementach kilka zaproponowanych propozycji (twierdzeń w dzisiejszym rozumieniu) i ich dowody stosują złoty podziałEuclid, Elements, Book 2, Proposition 11; Book 4, Propositions 10–11; Book 13, Propositions 1–6, 8–11, 16–18.. Niektóre z tych propozycji pokazują, że złoty podział jest liczbą niewymierną.
Nowożytna historia złotego podziału zaczyna się od De divina proportione Luca Pacioliego z 1509 roku, które pobudziło wyobraźnię artystów, architektów, naukowców i mistyków matematycznymi i innymi własnościami złotego podziału.
Pierwsze znane przybliżenie (odwrotności) złotego podziału w postaci ułamka dziesiętnego wynoszące „około 0,6180340” zostało zapisane w 1597 przez Michaela Maestlina z Uniwersytetu w Tybindze w liście do swojego byłego studenta Johannesa Keplera.
Od XX wieku złoty podział oznaczany jest grecką literą Φ lub φ (phi, od Fidiasza, rzeźbiarza, który podobno zastosował go w swoich dziełach) lub rzadziej jako τ (tau, pierwsza litera starogreckiego rdzenia τομή – znaczącego ciąć).
Kalendarium Kalendarium według Priyi Hemenway Fidiasz (490–430 p.n.e.) stworzył figury Partenonu, które wydają się zachowywać złote proporcje. Platon (427–347 p.n.e.) w swoim dialogu Timajos (gr. Τίμαιος) opisuje pięć możliwych wielościanów foremnych (Wielościany platońskie: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan), z których niektóre są powiązane ze złotym podziałem. Euklides (ok. 325 – ok. 265 p.n.e.) w swoich Elementach podał pierwszą pisaną definicję złotego podziału nazwaną w tłumaczeniu na polski „w złoty sposób” (gr. ἄκρος καὶ μέσος λόγος). Fibonacci (1170–1250) wspomina serię liczb zwaną dziś jego imieniem w swoim Liber abaci; stosunek kolejnych wyrazów Ciągu Fibonacciego zbliża się do złotego podziału asymptotycznie. Luca Pacioli (1445–1517) określa złoty podział jako „doskonałą proporcję” w swoim Divina Proportione. Michael Maestlin (1550–1631) publikuje pierwsze znane przybliżenie (odwrotności) złotego podziału jako ułamek dziesiętny. Johannes Kepler (1571–1630) udowadnia, że złoty podział jest granicą stosunku kolejnych liczb Fibonacciego, i opisuje złoty stosunek jako „drogi skarb”: „Geometria ma dwa wielkie skarby: jednym z nich jest twierdzenie Pitagorasa, a drugim podział odcinka w złoty sposób; pierwszy z nich możemy porównać do złota, a drugi do drogocennego klejnotu”. Te dwa „skarby” są obecne w trójkącie Keplera. Charles Bonnet (1720–1793) wskazuje, że na spirali modelującej ulistnienie, kąty zaznaczone przez kolejne liście skręcające zgodnie i przeciwnie do wskazówek zegara często są do siebie w stosunku takim, jaki zachodzi pomiędzy dwoma kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego. Martin Ohm (1792–1872) jest uważany za pierwszego, który użył określenia goldener Schnitt (złoty podział) do opisu tego stosunku, w 1835. Édouard Lucas (1842–1891) nadaje ciągowi znanemu dziś jako ciąg Fibonacciego jego współczesną nazwę. Mark Barr (XX wiek) proponuje grecką literę fi (φ), pierwszą literę imienia greckiego rzeźbiarza Fidiasza jako symbol złotego podziału. Roger Penrose (1931 –) odkrywa symetryczny nieokresowy wzór zachowujący złoty stosunek w dziedzinie parkietażu, który prowadzi do odkrycia kwazikryształów.
Zastosowania i obserwacje Estetyka De divina proportione, trzytomowe dzieło Luca Pacioliego opublikowano w 1509. Pacioli, franciszkański mnich, znany jest głównie jako matematyk, ale był również wyedukowanym pasjonatem sztuki. De Divina Proportione zgłębia matematykę złotego podziału. Chociaż często mówi się, że Pacioli doradzał użycie złotego podziału w celu uzyskania pięknych, harmonijnych proporcji, Livio wskazuje, że ta interpretacja jest związana z błędem z 1799 roku, a Pacioli w rzeczywistości zalecał stosowanie witruwiańskiego systemu proporcji. Pacioli zauważał również katolickie, religijne znaczenie podziału, z którego bierze się tytuł pracy. Ilustrowana rysunkami wielościanów foremnych autorstwa Leonarda da Vinci, długoletniego przyjaciela i współpracownika Pacioliego, De Divina Proportione miała duży wpływ na pokolenia artystów i architektów.
Architektura thumb|250px|Wiele proporcji Partenonu uznaje się za zachowujące złoty podział. Fasada Partenonu, jak również wiele elementów na niej i w innych miejscach są określane przez niektórych jako zawierające się w złotych prostokątachVan Mersbergen, Audrey M., Rhetorical Prototypes in Architecture: Measuring the Acropolis with a Philosophical Polemic, „Communication Quarterly”, Vol. 46 No. 2, 1998, s. 194–213.. Inni akademicy zaprzeczają, że Grecy mieli jakiekolwiek estetyczne skojarzenia ze złotym podziałem. Na przykład Midhat J. Gazalé mówi: „Jednakże aż do Euklidesa własności matematyczne złotego podziału nie były studiowane. W Elementach (308 p.n.e.) grecki matematyk zaledwie określał go jako ciekawą liczbę niewymierną, związaną ze złotym sposobem podziału odcinka. Jego występowanie zostało zauważone w foremnych pięciokątach i dziesięciokątach, jak również w dwunastościanie (wielościanie foremnym, którego ściany są pięciokątami foremnymi). Jest to naprawdę znamienne, że wielki Euklides w przeciwieństwie do pokoleń mistyków po nim traktował tę liczbę trzeźwo taką, jak jest, bez dodawania jej własności innych niż te, które posiada”. Również Keith Devlin twierdzi: „Zdecydowanie, często powtarzane twierdzenie, że Partenon w Atenach jest oparty na złotym podziale, nie jest potwierdzone przez żadne prawdziwe pomiary. Tak naprawdę cała historia o Grekach i złotym podziale wydaje się być bez podstaw. Jedyne, co wiemy na pewno, to to, że Euklides w swoim sławnym podręczniku Elementy, napisanym około 300 p.n.e., pokazał jak obliczyć jego wartość”Keith J. Devlin, The Math Instinct: Why You’re A Mathematical Genius (Along With Lobsters, Birds, Cats, And Dogs) New York: Thunder’s Mouth Press, 2005, .. Bardziej współczesne źródła takie jak Witruwiusz omawiają wyłącznie proporcje możliwe do zapisania jako liczby całkowite, tzn. wymierne w przeciwieństwie do proporcji niewymiernych.