mały|Augustin Louis Cauchy (1789–1857) mały|Wiktor Buniakowski (1804–1889) mały|Hermann Schwarz (1843–1921)

Nierówność Cauchy’ego-Schwarza, Schwarza, Buniakowskiego-Schwarza lub Cauchy’ego-Buniakowskiego-SchwarzaNiektóre z tych nazw bywają rezerwowane dla szczególnych przypadków, np. Buniakowskiego-Schwarza dla przypadku całkowego. – ograniczenie górne na iloczyn skalarny dwóch wektorów w przestrzeni unitarnej wykorzystujące iloczyn norm tych wektorów, jedna z najczęściej stosowanych nierówności w matematyce.

Nierówność dla sum została opublikowana w 1821 roku przez Augustina Louisa Cauchy’ego. Odpowiadająca jej nierówność całkowa została podana niezależnie przez Wiktora Buniakowskiego i Hermanna Schwarza, odpowiednio w 1859 i w 1884 roku Bunyakovskii inequality , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05]..

Nierówność Jeżeli oznacza iloczyn skalarny wektorów danej przestrzeni unitarnej to nierównością Schwarza nazywa się nierówność

lub, wyrażoną równoważnie za pomocą norm, nierówność

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy i są liniowo zależne, tzn. gdy istnieje taki skalar że zachodzi lub

Przykłady Dla pewnych przestrzeni liniowych i określonych w nich iloczynach skalarnych otrzymuje się użyteczne postaci tej nierówności: w przestrzeni euklidesowej z euklidesowym iloczynem skalarnym otrzymuje się nierówność

co można zapisać zwięźlej w postaci

w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku z iloczynem skalarnym danym wzorem dostaje się

dla funkcji z przestrzeni L2(X) całkowalnych z kwadratem iloczyn należy do przestrzeni L1(X) funkcji całkowalnych z modułem oraz

Nierówność Schwarza dla ustalonego iloczynu skalarnego z L² jest równoważna nierówności Höldera dla Nierówność dla można dowodzić indukcyjnie bądź z tożsamości Lagrange’a.

Dowód Nierówność jest spełniona dla zatem można przyjąć, że Dla dowolnej liczby zespolonej jest

Wybierając

otrzymuje się nierówność

która zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

co z uwagi na równość

jest tożsame

Zobacz też nierówność Höldera nierówność trójkąta przestrzeń Hilberta

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne

Piotr Stachura, Nierówność Cauchy'ego-Schwarza, kanał Khan Academy na YouTube, 15 listopada 2018 [dostęp 2024-06-22]. [dostęp 2022-06-20]. [dostęp 2022-06-20].

C Kategoria:Twierdzenia – przestrzenie Hilberta Kategoria:Twierdzenia o szeregach