Zbiory analityczne – podzbiory przestrzeni polskiej, które są ciągłymi obrazami zbiorów borelowskich. Dopełnienia zbiorów analitycznych to zbiory koanalityczne.
Zbiory analityczne były wprowadzone w 1917 przez rosyjskiego matematyka Michaiła SuslinaSouslin, M.: Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis, „Comptes Rendus Acad. Sci. Paris”, 164 (1917), s. 88–91..
Zbiory analityczne w przestrzeniach polskich Niech oznacza przestrzeń Baire’a (jest to przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych). Dla przestrzeni polskiej definiujemy klasy i następująco: jest rodziną tych wszystkich podzbiorów przestrzeni że dla pewnego zbioru borelowskiego mamy jest rodziną tych podzbiorów przestrzeni że
Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy (zamiast ).
Zbiory należące do klasy nazywane są analitycznymi podzbiorami przestrzeni , a zbiory z klasy są nazywane koanalitycznymi podzbiorami przestrzeni . Głównie w starszych podręcznikach topologii i teorii mnogości rodzinę zbiorów analitycznych oznacza się przez A, a klasę zbiorów koanalitycznych oznacza się przez CA.
Przykłady Każdy borelowski podzbiór przestrzeni polskiej jest analityczny i koanalityczny. Dla ciągu niech Tak więc, dla każdego zbiór jest relacją dwuargumentową na zbiorze liczb naturalnych Rozważmy zbiór jest dobrym porządkiem na
Wówczas jest zbiorem koanalitycznym który nie jest borelowski. (A więc jego dopełnienie jest przykładem zbioru analitycznego który nie jest borelowski).
Własności Jeśli jest przestrzenią polską, jest funkcją ciągłą oraz to W szczególności, każdy ciągły obraz zbioru borelowskiego jest analityczny. Przeliczalne sumy i przekroje zbiorów analitycznych (koanalitycznych, odpowiednio) są analityczne (koanalityczne, odpowiednio). Nieskończony zbiór analityczny jest albo przeliczalny albo mocy continuum, nawet bez założenia hipotezy continuum. Co więcej, każdy nieprzeliczalny zbiór analityczny zawiera zbiór doskonały. Przy założeniu aksjomatu konstruowalności, istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego. Jeśli są rozłącznymi podzbiorami analitycznymi przestrzeni polskiej to można znaleźć taki zbiór borelowski że oraz W szczególności, jedynymi zbiorami które są jednocześnie analityczne i koanalityczne są zbiory borelowskie. Wszystkie zbiory z mają własność Baire’a. Wszystkie zbiory z są mierzalne w sensie miary Lebesgue’a. Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na zbiory z są zdeterminowaneMartin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. „Fundamenta Mathematicae” 66 (1969/1970), s. 287–291.. Przypuśćmy, że są przestrzeniami polskimi i jest zbiorem koanalitycznym. Wówczas można znaleźć zbiór koanalityczny który jest wykresem funkcji o dziedzinie
Powyższe twierdzenie przy założeniu że jest zbiorem borelowskim było udowodnione przez polskiego matematyka Wacława SierpińskiegoSierpinski, Wacław: Sur l’uniformisation des ensembles mesurables (B). „Fundamenta Math.” 16 (1930), s. 136–139., a w sformułowaniu przedstawionym powyżej udowodnił je Motokiti KondoKondô, Motokiti: Sur l’uniformisation des complémentaires analytiques et les ensembles projectifs de la seconde classe. „Japan. J. Math.” 15 (1938), s. 197–230..
Zobacz też opisowa teoria mnogości teoria mnogości zbiór borelowski zbiór rzutowy
Przypisy
Kategoria:Deskryptywna teoria mnogości