Prosta Sorgenfreya, prosta z topologią Sorgenfreya, prosta z topologią strzałki, strzałka Niemyckiego – zbiór liczb rzeczywistych z topologią wprowadzoną przez bazę:
Zbiór liczb rzeczywistych z topologią Sorgenfreya oznaczany bywa czasem symbolem
Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska matematyka amerykańskiego, Roberta Sorgenfreya. Przestrzeń ta, podobnie jak płaszczyzna Niemyckiego czy zbiór Cantora, jest często wykorzystywanym kontrprzykładem w topologii ogólnej.
Własności Topologia strzałki jest silniejsza (większa) od naturalnej topologii (euklidesowej) na prostej ponieważ każdy przedział otwarty można przedstawić jako sumę (nieskończenie wielu) przedziałów jednostronnie otwartych. Dla dowolnych liczb rzeczywistych przedział jest zbiorem otwarto-domkniętym w topologii Sorgenfreya. Ponadto, dla dowolnego przedziały
są również otwarto-domknięte. Oznacza to, że prosta Sorgenfreya jest całkowicie niespójna. Topologia strzałki spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności i jest ośrodkowa (na przykład, zbiór liczb wymiernych jest gęsty w w topologii Sorgenfreya), ale nie spełnia ona drugiego aksjomatu przeliczalności. Wobec tego nie jest metryzowalna (ponieważ wszystkie ośrodkowe przestrzenie metryczne spełniają drugi aksjomat przeliczalności). Prosta Sorgenfreya jest przestrzenią doskonale normalną. Produkt dwóch prostych Sorgenfreya nie jest przestrzenią normalną. Dowód. Zbiór
jest dyskretny i domknięty w Istotnie, ponieważ jest on domknięty w standardowej topologii euklidesowej, która jest słabsza jest on także domknięty w topologii mocniejszej. Dyskretność wynika z tego, że dla każdego część wspólna ze zbiorem otwartym jest jednoelementowa. Ponieważ jest dyskretnym i domkniętym zbiorem mocy continuum, ma on zbiorów domkniętych (każdy podzbiór jest domknięty). Gdyby produkt był normalny, przeczyłoby to twierdzeniu Tietzego z którego wynikałoby, że na tej przestrzeni jest różnych funkcji ciągłych, a jest ich tylko continuum z uwagi na ośrodkowość prostej Sorgenfreya (a więc też produktu jej dwóch kopii).
Prosta Sorgenfreya jest przestrzenią Baire’a. Dowód. Podzbiór jest gęsty w w topologii Sorgenfreya wtedy i tylko wtedy, gdy jest gęsty w w zwykłej topologii euklidesowej. Niech będzie ciągiem zbiorów otwartych i gęstych w w topologii Sorgenfreya. Dla każdego niech oznacza wnętrze zbioru w sensie topologii euklidesowej. Wówczas każdy ze zbiorów jest również jest gęsty w w zwykłej topologii euklidesowej. Ponieważ z topologią euklidesową jest przestrzenią Baire’a, część wspólna wszystkich zbiorów jest niepusta. W szczególności, część wspólna wszystkich zbiorów jest niepusta, co kończy dowód. □
Prosta Sorgenfreya jest Lindelöfa, parazwarta, ale nie jest lokalnie zwarta ani σ-zwarta.
Nie istnieje spójne uzwarcenie prostej Sorgenfreya.
Przypisy
Bibliografia
Kategoria:Przykłady przestrzeni topologicznych