Pierwiastek z jedynki -tego stopnia w ciele K – element spełniający równość:
gdzie jest liczbą naturalną większą od 0. Ciałem może być w szczególności ciało liczb zespolonych .
Grupa pierwiastków z jedynki Zbiór wszystkich pierwiastków z jedynki stopnia tworzy grupę ze względu na mnożenie. Grupa ta jest grupą cykliczną rzędu zatem jest ona izomorficzna z grupą addytywną klas reszt
Pierwiastki z jedynki w ciele liczb zespolonych mały|300px|Pierwiastki piątego stopnia z jedynki na płaszczyźnie zespolonej
Istnieje dokładnie różnych pierwiastków stopnia z jedynki w zbiorze liczb zespolonych ; dane są one wzorami de Moivre'a: , lub równoważnie , Tradycyjnie liczby ustanawia się jednocześnie indeksami poszczególnych pierwiastków z jedynki stopnia .
Pierwiastki z jedynki w ciele liczb zespolonych nazywane są także liczbami de Moivre’a dla uhonorowania francuskiego matematyka Abrahama de Moivre’a.
Przykłady Z powyższych wzorów otrzymujemy: Pierwiastki pierwszego stopnia z jedynki: Pierwiastki 2. stopnia z jedynki: Pierwiastki 3. stopnia z jedynki:
Pierwiastki 4. stopnia z jedynki:
Własności (1) Na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki -tego stopnia z jedności są wierzchołkami wielokąta foremnego o bokach wpisanego w okrąg jednostkowy, którego jeden z wierzchołków leży w punkcie Realizują one podział tego okręgu na równych części.
(2) Dla wszystkie pierwiastki z jedynki -tego stopnia sumują się do
(3) Przypadek powyższej tożsamości jest znany pod nazwą tożsamości Eulera:
(4) Grupy pierwiastków z jedności -tego stopnia wyczerpują skończone podgrupy grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych. Ważnymi ze względu na klasyfikację grup abelowych są grupy
gdzie jest ustaloną liczbą pierwszą.
Pierwiastki pierwotne z jedynki mały|225x225px|Pierwiastki z jedynki stopnia szóstego. Tylko pierwiastek pierwszy i piąty są pierwiastkami pierwotnymi (generują wszystkie inne poprzez mnożenie przez siebie). Df. Pierwiastkami pierwotnymi stopnia z jedynki nazywamy te spośród pierwiastków , , które są generatorami grupy, jaką tworzą te pierwiastki. Innymi słowy, wszystkie pozostałe pierwiastki można otrzymać z mnożenia przez siebie generatora odpowiednią ilość razy.
Tw. 1 Dla stopnia pierwiastkiem pierwotnym z jedynki jest na pewno pierwiastek postaci
lub równoważnie, w zapisie wykładniczym
Dowód: Ze wzoru de Moivre'a mamy dla
zaś dla mamy
co dowodzi, że jest najniższym stopniem, dla którego . Oznacza to, że jest pierwotnym pierwiastkiem z jedynki stopnia .
Tw. 2 Pierwiastek stopnia z jedynki o indeksie jest pierwotny, jeżeli liczba jest względnie pierwsza względem stopnia pierwiastka.
Z Tw. 2 wynika stąd, że pierwiastkami prymitywnymi z jedynki są 1. stopnia: 2. stopnia: 3. stopnia:
4. stopnia: 5. stopnia: 6. stopnia: 7. stopnia: 8. stopnia: 9. stopnia: 10. stopnia: .... Obliczając liczby pierwiastków dla poszczególnych stopni otrzymamy:
- zgodnie z funkcją Eulera, co wyraża poniższe twierdzenie.
Tw. 3 Liczba pierwiastków pierwotnych stopnia z jedynki jest równa gdzie jest funkcją Eulera.
Tw. 4 Pierwiastek pierwotny stopnia n z jedynki spełnia równanie algebraiczne stopnia n-1 postaci:
Dowód:
Z twierdzenia o sumowaniu się wszystkich pierwiastków stopnia n mamy
Dokonując przekształceń i podstawiając do równania postać wykładniczą pierwiastka pierwotnego otrzymamy
Ponieważ , to po zamianie kolejności składników sumy na odwrotny otrzymamy tezę, cnd.
Zobacz też addytywna grupa klas reszt ciało algebraicznie domknięte pierwiastkowanie
Przypisy
Bibliografia
, tłum. ros., Москва 1976, s. 153–158.
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne Root of unity , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-10-22].
Kategoria:Rodzaje liczb zespolonych Kategoria:Analiza zespolona Kategoria:Teoria ciał