Liczba Fermata – liczba naturalna postaci gdzie jest nieujemną liczbą całkowitą. Nazwano je tak dla upamiętnienia francuskiego matematyka Fermata, który pierwszy badał ich własności.
Faktoryzacje liczb Fermata Oto kilka początkowych liczb Fermata:
Liczby Fermata a pierwszość Początkowe liczby Fermata są liczbami pierwszymi. Fermat wyraził przypuszczenie, że wszystkie liczby postaci są pierwsze, jednak Euler w roku 1732 pokazał, że czyli jest liczbą złożoną.
Do chwili obecnej jedynymi znanymi liczbami pierwszymi Fermata są właśnie i nie wiadomo, czy jest ich więcej [dostęp 2025-12-06]..
Zauważmy, że jeżeli liczba jest liczbą pierwszą, to musi być potęgą 2, wobec tego każda liczba pierwsza tej postaci jest liczbą pierwszą Fermata.
Metoda T. Pépina sprawdzania pierwszości W roku 1877 francuski matematyk określił metodę sprawdzania, czy konkretna liczba Fermata jest liczbą pierwszą.
Dla jeśli to jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli
Przykład liczba zatem więc
dzieli się zatem bez reszty, co świadczy o pierwszości liczby
Wzory rekurencyjne Liczby Fermata spełniają następujące zależności rekurencyjne:
dla
Najprostszy dowód tych własności polega na zastosowaniu indukcji matematycznej. Z ostatniej z nich wynika twierdzenie Goldbacha: wszystkie liczby Fermata są względnie pierwsze
Jako natychmiastowy wniosek otrzymuje się stąd dowód faktu, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele – każda liczba Fermata jest albo pierwsza, albo ma dzielnik pierwszy, który nie dzieli żadnej z pozostałych liczb Fermata.
Własności Kilka dalszych własności liczb Fermata: Jeżeli to (zobacz: kongruencja) Jeśli to Liczba cyfr liczby w pozycyjnym systemie liczbowym o podstawie jest równa (zobacz: funkcja podłoga) Żadna liczba Fermata oprócz nie daje się przedstawić jako suma dwóch liczb pierwszych. Żadna liczba pierwsza Fermata nie daje się przedstawić jako różnica dwóch -tych potęg, gdzie jest liczbą pierwszą większą od 2.
Więcej o liczbach pierwszych Fermata Dowodząc, że jest liczbą złożoną, Euler zauważył, że każdy dzielnik liczby musi mieć postać Dla oznacza to, że jedynie liczby postaci mogą dzielić dla biegłych w arytmetyce matematyków XVIII wieku sprawdzenie, czy któraś z początkowych liczb tej postaci dzieli nie było żadnym problemem.
Poniższe problemy dotyczące liczb pierwszych Fermata nadal pozostają otwarte: Czy jest liczbą złożoną dla ? Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Fermata? Czy istnieje nieskończenie wiele złożonych liczb Fermata?
W chwili obecnej (2004) wiadomo, że dla wszystkie liczby są złożone, jednak ich rozkłady na czynniki pierwsze znane są jedynie dla Największą znaną złożoną liczbą Fermata jest a jednym z jej czynników pierwszych jest
27 sierpnia 2000 roku nestor Sergio de Aranjo Melo stwierdził, że dla liczba Fermata ma dzielnik:
Poniżej kilka warunków dotyczących równoważnych temu, by dana liczba Fermata była pierwsza. Twierdzenie Protha: Niech gdzie jest nieparzyste i mniejsze od Jeżeli istnieje liczba całkowita taka, że:
to jest liczbą pierwsza. Na odwrót, jeśli powyższa kongruencja nie zachodzi oraz (zobacz: symbol Jacobiego),
to jest liczbą złożoną. Jeżeli to powyższy symbol Jakobiego jest zawsze równy Niech jest liczbą pierwszą Fermata wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby względnie pierwszej z jest pierwiastkiem pierwotnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieresztą kwadratową Liczba Fermata jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy można ją przedstawić tylko jednym sposobem jako sumę kwadratów dwóch liczb naturalnych:
Stąd nowy dowód, że nie jest pierwsza, bowiem Podobnie i
Liczby pierwsze Fermata w geometrii Twierdzenie Gaussa-Wantzela mówi, że -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą postaci gdzie są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Tak więc, konstruowalny jest pięciokąt foremny i sześciokąt foremny ale już nie siedmiokąt foremny.
Przypisy
Linki zewnętrzne Liczby Fermata, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 10 października 2017 [dostęp 2024-09-04]. [dostęp 2022-07-02]. Fermat prime , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-12].
F Kategoria:Konstrukcje klasyczne