Liczba doskonała – liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych naturalnych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych). Korzystając z pojęcia funkcji σ, można liczby doskonałe definiować jako te, dla których zachodzi warunek: .
Najmniejszą liczbą doskonałą jest , ponieważ . Następną jest , ponieważ: .
Kolejnymi są: , , , , i .
Największą znaną obecnie (21 października 2024) liczbą doskonałą jest . Liczy onadokładnie cyfr w rozwinięciu dziesiętnym.
Uwaga. Wszystkie znane liczby doskonałe, są parzyste. Dotychczas nie udało się znaleźć żadnej nieparzystej liczby doskonałej, ani też udowodnić, że takie liczby nie istnieją. W piśmiennictwie pojawiają się jednak prace bazujące na obliczeniach komputerowych, które przedstawiają pewne konieczne ograniczenia dolne dla takiej liczby (gdyby miała istnieć). W 2012 roku matematycy Pascal Ochem oraz Michaël Rao dowiedli, przeprowadzając odpowiednie kalkulacje, że jeśli nieparzysta liczba doskonała istnieje, to musi ona mieć co najmniej 1501 cyfr w swoim zapisie dziesiętnym (pokazali oni, że musi być: ). Zagadnienie istnienia nieparzystej liczby doskonałej jest jednym z najstarszych wciąż nierozwiązanych problemów w matematyce.
Metoda Euklidesa znajdowania liczb doskonałych W IX księdze Elementów, najstarszym znanym piśmie opisującym liczby doskonałe, Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: Należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki ( ). Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą.
Sposób podany przez Euklidesa każe badać kolejno sumy:
Są to sumy ciągu geometrycznego o ilorazie , mają więc one postać . Jeśli któraś z liczb okaże się liczbą pierwszą, to wówczas jest liczbą doskonałą.
Własności Leonhard Euler udowodnił, że każda liczba doskonała parzysta ma postać , gdzie jest liczbą pierwszą. Warunkiem pierwszości liczby jest pierwszość liczby .
Rzeczywiście, niech będzie liczbą złożoną, gdzie są liczbami naturalnymi. Wówczas:
również jest liczbą złożoną. Istnieje jednoznaczna odpowiedniość liczb doskonałych parzystych z liczbami pierwszymi Mersenne’a w postaci .
Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci , gdzie jest liczbą pierwszą postaci . Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od .
Zobacz też liczby towarzyskie liczby zaprzyjaźnione
Przypisy
Bibliografia Wacław Sierpiński, Arytmetyka teoretyczna. Władysław Narkiewicz, Nieparzyste Liczby doskonałe, Delta, 12(403), s. 4.
Linki zewnętrzne Polskojęzyczne
Nagrania na YouTube [dostęp 2024-09-04]: Liczby doskonałe, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki”, 10 października 2017. Tomasz Miller, Liczby pierwsze i doskonałe, Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych – Uniwersytet Jagielloński (CKBI UJ), kanał „Copernicus”, 27 października 2022. Anglojęzyczne
Perfect number, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-03-25]. Derek Muller, The Oldest Unsolved Problem in Math, kanał Veritasium na YouTube, 8 marca 2024 [dostęp 2024-03-25]. Mersenne Prime Search
D Kategoria:Otwarte problemy teorii liczb Kategoria:Teoria podzielności