Hipoteza Pólyi – matematyczna hipoteza z zakresu teorii liczb, mówiąca że dla dowolnej liczby naturalnej co najmniej 50% liczb naturalnych mniejszych od ma nieparzystą liczbę czynników pierwszych. Hipotezę tę postawił w 1919 roku węgierski matematyk George Pólya. W 1958 roku wykazano, że jest to nieprawdą.
Hipoteza thumb|none|Suma wartości funkcji Liouville’a do thumb|none|Suma wartości funkcji Liouville’a do Hipoteza Pólyi mówi, że jeżeli dla dowolnego podzielimy liczby naturalne mniejsze od na dwie grupy, w zależności od tego, czy dana liczba ma parzystą, czy nieparzystą liczbę czynników pierwszych, to w pierwszej grupie nigdy nie będzie więcej liczb niż w drugiej. Powtórzone czynniki pierwsze liczymy odpowiednią liczbę razy; i tym samym też na przykładliczymy, że: ma: czynniki pierwsze.
Hipotezę niniejszą, można także zapisać na sposób równoważny powyższemu przedstawieniu; przy wykorzystaniu tak zwanej sumacyjnej funkcji Liouville'a. Hipoteza ta przedstawia się wówczas następująco:
dla wszystkich . Przy czym, w powyższym mamy równość: ,gdzie ma oznaczać liczbę wszystkich dzielników pierwszych dla . Ponadto, jesteśmytutaj w stanie powiedzieć, że ma wartość dodatnią, jeśli tylko jest jakąś liczbą parzystą; zaś wartość ujemną wyrażenie to przybiera, jeśli mamy: nieparzyste.
Obalenie Hipoteza Pólyi została obalona przez C.B. Haselgrove’a w 1958 roku. Pokazał on, że istnieje kontrprzykład rozmiaru oszacowanego przez niego na . Wielkość tego kontrprzykładu pokazuje niebezpieczeństwo opierania się na nawet bardzo daleko sięgających sprawdzeniach komputerowych.
Dokładny kontrprzykład równy został podany przez R.S. Lehmana w 1960 roku. Najmniejszy istniejący kontrprzykład, wynoszący podał Minoru Tanaka w 1980 roku.
Hipoteza ta, okazuje się nie być spełniona, dla większości z wartości dla , takich że mieszczą się one jednocześnie w następującym przedziale (zadanym zapisanymi nierównościami): . Ponadto (dla porównania), umiemy także powiedzieć, że: sumacyjna funkcja Liouville'a w tym samym przedziale, osiąga swoją maksymalną możliwą wartość, równądokładnie: ; w punkcie .
Bibliografia R.S. Lehman, On Liouville’s function. Math. Comp. 14 (1960), s. 311–320. M. Tanaka, A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function, „Tokyo Journal of Mathematics” 3, (1980) s. 187–189.
Linki zewnętrzne [dostęp 2022-07-02].
P P