thumb|220px|Siatka rozpięta na hipersferze dwuwymiarowej w rzucie ortogonalnym thumb|220px|Rzut na płaszczyznę siatki rozpiętej na hipersferze trójwymiarowej Hipersfera (gr. υπερ hyper „nad, ponad” i σφαῖρα sphaîra „kula, piłka”) – uogólnienie klasycznej sfery na dowolną liczbę wymiarów.
Definicja formalna Dla dowolnej liczby naturalnej hipersfera o promieniu jest zdefiniowana jako zbiór punktów w przestrzeni euklidesowej -wymiarowej, które znajdują się w odległości od wybranego punktu środkowego gdzie jest dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, a to dowolnie wybrany punkt w przestrzeni -wymiarowej:
Jest to -wymiarowa rozmaitość w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej. W szczególności: hipersfera 0-wymiarowa to para punktów na końcach odcinka, hipersfera 1-wymiarowa to okrąg na płaszczyźnie, hipersfera 2-wymiarowa to klasyczna sfera w przestrzeni 3-wymiarowej, powierzchnia klasycznej kuli, hipersfera 3-wymiarowa to sfera w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.
Hipersferę o promieniu jednostkowym i środku umieszczonym w początku układu współrzędnych nazywa się sferą jednostkową i oznacza . Sfera -wymiarowa stanowi brzeg kuli -wymiarowej. Dla hipersfery są rozmaitościami jednospójnymi o stałej dodatniej krzywiźnie.
Współrzędne Zbiór punktów w przestrzeni -wymiarowej który tworzy hipersferę, opisuje równanie
gdzie: – punkt środkowy, – promień.
Hiperkula
Przestrzeń ograniczoną przez hipersferę nazywa się -wymiarową hiperkulą. Hiperkula jest domknięta, jeśli zawiera hipersferę, lub otwarta, jeśli jej nie zawiera. W szczególności: hiperkula 1-wymiarowa to odcinek, hiperkula 2-wymiarowa to koło, hiperkula 3-wymiarowa to kula.
Rozmiar Objętość wnętrza Ogólny wzór na objętość, a ściślej miara Lebesgue’a obszaru ograniczanego przez hipersferę -wymiarową o promieniu który jest hiperkulą -wymiarową, ma postać:
gdzie jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi
w którym to funkcja Γ.
Wzór na współczynnik upraszcza się, gdy rozpatruje się oddzielnie wymiary stopni parzystych
i nieparzystych
+ Zestawienie wartości współczynników Wymiarn Współczynnik Dziesiętneprzybliżenie Klasycznainterpretacja 0 1,00000 punkt 1 2,00000 długość odcinka 2 3,14159 pole koła 3 4,18879 objętość kuli 4 4,93480 5 5,26379 6 5,16771 7 4,72478 8 4,05871
Rozmiar obszaru ograniczonego hipersferą jednostkową jest największy w przestrzeni 5-wymiarowej. W przestrzeniach o liczbie wymiarów rozmiar zaczyna maleć, zmierzając do zera w nieskończoności
Powierzchnia Ogólny wzór na powierzchnię hipersfery -wymiarowej można uzyskać, obliczając pochodną objętości hiperkuli -wymiarowej względem promienia
gdzie podobnie jak dla objętości, jest stałym współczynnikiem proporcjonalności zależnym od wymiaru przestrzeni i wynosi
+ Zestawienie wartości współczynników Wymiarn-1 Współczynnik Dziesiętneprzybliżenie Klasycznainterpretacja –1 0,00000 0 2,00000 liczba punktów tworzących sferę 1 6,28318 długość okręgu 2 12,56637 powierzchnia kuli 3 19,73920 4 26,31894 5 31,00627 6 33,07336 7 32,46969
Wśród hipersfer jednostkowych największą powierzchnię ma hipersfera 6-wymiarowa (w przestrzeni 7-wymiarowej). Dla hipersfer o wymiarach ich rozmiar zaczyna maleć i zmierza do zera, gdy liczba wymiarów rośnie do nieskończoności
Wymiary ułamkowe
Wzory na i można zastosować dla dowolnych liczb rzeczywistych w których istnieje uzasadnienie poszukiwania powierzchni sfery lub objętości kuli, gdy nie jest dodatnią liczbą całkowitą.
Współrzędne hipersferyczne Analogicznie do współrzędnych sferycznych, w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej definiuje się system współrzędnych hipersferycznych dla dowolnej przestrzeni -wymiarowej, w których składowymi są promień i współrzędnych kątowych gdzie zawiera się w przedziale a pozostałe współrzędne kątowe w przedziale
Jeśli przez oznaczy się współrzędne kartezjańskie, to ich wartości można wyznaczyć jako:
Zobacz też hipersześcian rozmaitość
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Exploring Hyperspace with the Geometric Product
Kategoria:Rozmaitości Kategoria:Geometria wielowymiarowa