thumb|Dla funkcji spełniającej warunek Lipschitza istnieje podwójny stożek (biały), którego wierzchołek można przesuwać wzdłuż wykresu funkcji, a wnętrze pozostaje rozłączne z tym wykresem.

Warunek Lipschitza – własność ograniczenia ilorazów różnicowych funkcji; intuicyjnie można powiedzieć, że ograniczona jest szybkość zmian jej wartości. Funkcje spełniające ten warunek nazywa się lipschitzowskimi Bartosz Budnarowski, Funkcje Lipschitzowskie, mimuw.edu.pl [dostęp 2023-02-07].. Okazuje się, że jest to pewne wzmocnienie ciągłości jednostajnej funkcji.

Nazwa pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Rudolfa Lipschitza.

Definicja Funkcja spełnia warunek Lipschitza ze stałą gdy dla dowolnych zachodzi nierówność

Definicja ta naturalnie rozszerza się na funkcje określone pomiędzy przestrzeniami metrycznymi.

Niech będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcja spełnia warunek Lipschitza ze stałą gdy dla dowolnych zachodzi nierówność

Najmniejszą liczba dla której powyższa nierówność zachodzi dla wszelkich (o ile istnieje) nazywana jest stałą Lipschitza funkcji Funkcje spełniające warunek Lipschitza ze stałą nazywane są kontrakcjami.

Przykłady Funkcja dana wzorem

spełnia warunek Lipschitza ze stałą Rzeczywiście, dla zachodzi

Funkcja dana wzorem jest funkcją nieróżniczkowalną spełniającą warunek Lipschitza ze stałą Funkcja dana wzorem nie spełnia warunku Lipschitza, bo nie jest jednostajnie ciągła. Niech Funkcja dana wzorem spełnia warunek Lipschitza ze stałą gdy oraz ze stałą gdy

Podstawowe własności Każda funkcja lipschitzowska jest jednostajnie ciągła. Dowód. Niech będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą Niech oraz niech dany będzie Gdy to o ile tylko Rozumowanie to przenosi się mutatis mutandis na funkcje lipschitzowskie działające pomiędzy dowolnymi przestrzeniami metrycznymi.

Twierdzenie Rademachera: funkcje lipschitzowskie są prawie wszędzie różniczkowalne.

Niech będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas spełnia warunek Lipschitza ze stałą Lipschitza wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest ograniczona przez

Dowód. Załóżmy, że spełnia warunek Lipschitza ze stałą Niech Wówczas dla

Stąd By udowodnić przeciwną implikację, załóżmy, że dla wszelkich Niech Bez straty ogólności, można przyjąć, że Z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej wynika, że istnieje takie że

Ponieważ

co pokazuje, że spełnia warunek Lipschitza ze stałą

Niech będzie przestrzenią z miarą oraz niech będzie ciągiem funkcji rzeczywistych na Jeżeli ciąg ten jest zbieżny według miary do pewnej funkcji oraz funkcja spełnia warunek Lipschitza, to ciąg jest zbieżny według miary do

Twierdzenia dotyczące warunku Lipschitza twierdzenie Kirszbrauna twierdzenie Picarda

Przypisy

Linki zewnętrzne [dostęp 2023-02-07]. Lipschitz function , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-02-07].

Kategoria:Nierówności w analizie matematycznej