Załóżmy, że spełnia warunek Lipschitza ze stałą Niech Wówczas dla
Stąd By udowodnić przeciwną implikację, załóżmy, że dla wszelkich Niech Bez straty ogólności, można przyjąć, że Z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej wynika, że istnieje takie że
Ponieważ
co pokazuje, że spełnia warunek Lipschitza ze stałą
Niech będzie przestrzenią z miarą oraz niech będzie ciągiem funkcji rzeczywistych na Jeżeli ciąg ten jest zbieżny według miary do pewnej funkcji oraz funkcja spełnia warunek Lipschitza, to ciąg jest zbieżny według miary do
Twierdzenia dotyczące warunku Lipschitza twierdzenie Kirszbrauna twierdzenie Picarda
Przypisy
Linki zewnętrzne [dostęp 2023-02-07]. Lipschitz function , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-02-07].
Kategoria:Nierówności w analizie matematycznej