Rugownik – typ funkcji, której argumentami są pary wielomianów lub – z innej perspektywy – ich współczynniki, co czyni rugownik funkcją wielu zmiennych; jest zdefiniowany wyznacznikiem opisanym niżej. Kluczową własnością rugownika jest to, że wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany te mają wspólny czynnik.
Rozpatrzmy dwa wielomiany w ciele liczbowym
Rugownikiem tych wielomianów nazywa się wyznacznik stopnia postaciWspółczynnik pojawiając się w wyznaczniku po raz ostatni, nie musi znajdować się bezpośrednio nad Ich wzajemne położenie zależy od wartości :
Przyjmuje się dodatkowo, że
Własności Dla dowolnych wielomianów zachodzi:
wtedy i tylko wtedy, gdy i mają wspólny pierwiastek w algebraicznym domknięciu ciała .
Istnieją takie wielomiany że
Niech będą postaci
Wtedy Wzór ten może być traktowany jako definicja rugownika..
Zastosowanie Rozwiązywanie układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi Rozpatrzmy układ równań wielomianowych – niezerowe. Po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg uzyskujemy:
gdzie są wielomianami niezerowymi. Można rozważyć rugownik:
Podobnie, po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg tworzy się rugownik Można udowdnić, że gdy para jest rozwiązaniem układu równań zachodzi oraz
Powyższe rozumowanie prowadzi do metody uzyskiwania rozwiązań układu równań. Jeśli są wielomianami niezerowymi, ich rozkład na czynniki pierwsze daje skończoną liczbę potencjalnych wartości odciętej i rzędnej rozwiązania. Wówczas pozostaje bezpośrednie sprawdzenie, które z par są rozwiązaniami układu równań.
Uwagi
Przypisy
Bibliografia
Linki zewnętrzne Przemysław Koprowski, Rugownik – twierdzenie Sylvestera, kanał autorski na YouTube, 21 kwietnia 2021 [dostęp 2024-06-22]. [dostęp 2023-04-26]. Resultant , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-04-26].
Kategoria:Wielomiany Kategoria:Przykłady wyznaczników