Rugownik – typ funkcji, której argumentami są pary wielomianów lub – z innej perspektywy – ich współczynniki, co czyni rugownik funkcją wielu zmiennych; jest zdefiniowany wyznacznikiem opisanym niżej. Kluczową własnością rugownika jest to, że wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany te mają wspólny czynnik.
Rozpatrzmy dwa wielomiany w ciele liczbowym
Rugownikiem tych wielomianów nazywa się wyznacznik stopnia postaciWspółczynnik pojawiając się w wyznaczniku po raz ostatni, nie musi znajdować się bezpośrednio nad Ich wzajemne położenie zależy od wartości :
Przyjmuje się dodatkowo, że
Własności Dla dowolnych wielomianów zachodzi:
wtedy i tylko wtedy, gdy i mają wspólny pierwiastek w algebraicznym domknięciu ciała .
Istnieją takie wielomiany że
Niech będą postaci
Wtedy Wzór ten może być traktowany jako definicja rugownika..
Zastosowanie Rozwiązywanie układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi Rozpatrzmy układ równań wielomianowych – niezerowe. Po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg uzyskujemy:
gdzie są wielomianami niezerowymi. Można rozważyć rugownik:
Podobnie, po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg tworzy się rugownik Można udowdnić, że gdy para jest rozwiązaniem układu równań zachodzi oraz