Twierdzenia van Aubela – twierdzenia geometrii płaskiej przypisywane H.H. van Aubelowi. W literaturze geometrycznej określenie twierdzenie van Aubela używane jest w odniesieniu do przynajmniej dwóch różnych wyników.
Twierdzenie van Aubela dla czworokąta thumb|200px|Twierdzenie Aubela można stosować do wszystkich czworokątów, zarówno wypukłych, jak i wklęsłych Twierdzenie Przypuśćmy, że jest dany czworokąt Po zewnętrznej stronie każdego boku tego czworokąta zbudujmy kwadrat, otrzymując kwadraty i (takie, że odcinek jest bokiem kwadratu ). Wówczas punkty przecięcia przekątnych kwadratów zbudowanych na przeciwległych bokach wyjściowego czworokąta wyznaczają parę odcinków równych i prostopadłych. Inaczej mówiąc, jeśli są środkami kwadratów (odpowiednio), to odcinki i są prostopadłe i mają tę samą długość.
Dowód
Rozważmy obrót o dookoła punktu przy którym punkt przechodzi na punkt Niech oznacza obraz punktu przy tym przekształceniu. Wówczas, odcinki i są równe i prostopadłe. Z tego wynika, że odcinki i są równe i równoległe, czyli czworokąt jest równoległobokiem. Niech będzie środkiem odcinka Ponieważ jest to środek odcinka zatem jest to również środek kwadratu opartego na boku czyli odcinki i są równe i prostopadłe. Analogicznie dowodzimy, że odcinki i są równe i prostopadłe. To oznacza, że przy takim obrocie o dookoła punktu że punkt przechodzi na punkt punkt przechodzi na punkt – zatem istotnie, odcinki i są równe i prostopadłe, co kończy dowód
Twierdzenie van Aubela dla trójkąta Twierdzenie Niech będzie dany trójkąt i niech będzie punktem przecięcia trzech prostych łączących wierzchołki trójkąta z przeciwległymi bokami (lub ich przedłużeniami). Niech proste te będą wyznaczone przez odcinki i gdzie Wówczas
Dowód Niech oznacza pole trójkąta Trójkąty i mają wspólny bok, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich wysokości, a ten ostatni jest taki sam jak Zachodzi więc
skąd wynika, że
Rozważając trójkąty i zauważamy, że mają one tę samą wysokość (opuszczoną ze wspólnego wierzchołka ), a zatem stosunek ich pól jest taki sam jak stosunek długości ich podstaw:
W podobny sposób otrzymujemy też
Zatem
a z tych równości wynika, że (i)
Analogicznie uzasadniamy równość (ii)
Dodając stronami równości (i) oraz (ii), otrzymujemy
co należało wykazać.
Zobacz też twierdzenie Cevy twierdzenie Menelaosa twierdzenie Napoleona
Przypisy
Linki zewnętrzne
Kategoria:Twierdzenia o czworokątach Kategoria:Twierdzenia o trójkącie