Rozkład wykładniczy (rozkład ujemnie wykładniczy) – rozkład zmiennej losowej opisującej czas oczekiwania na zdarzenie zachodzące w procesie losowym o stałej intensywności, w którym zdarzenia występują niezależnie w czasie.
Ściślej, jeśli zmienna losowa opisuje czas oczekiwania na kolejne zdarzenie, to rozkład ten spełnia własność braku pamięci, gdy:
Rozkład wykładniczy jest szczególnym przypadkiem rozkładu gamma. Stanowi również ciągły odpowiednik rozkładu geometrycznego, który opisuje liczbę prób do pierwszego sukcesu w schemacie Bernoulliego.
Rozkład wykładniczy znajduje zastosowanie w analizie procesów Poissona, w teorii niezawodności, teorii kolejek oraz w modelowaniu czasu życia urządzeń i systemów.
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa Jeśli zmienna losowa jest ciągła, ma nośnik i spełnia własność braku pamięci, to jej gęstość prawdopodobieństwa ma postać
Wielkość jest parametrem rozkładu, często nazywanym parametrem intensywności (rate parameter).
Uwaga: Jeżeli oznacza czas zajścia zdarzenia losowego, to parametr oznacza średnią liczbę zdarzeń losowych zachodzących w jednostce czasu (np. w czasie 1 sekundy). Wtedy gęstość prawdopodobieństwa ma wymiar
Oznaczenia Jeśli zmienna losowa rozkład wykładniczy, to zapisujemy . Dystrybuanta Dystrybuanta rozkładu wykładniczego dana jest wzorem
Wartość oczekiwana Wartość oczekiwana rozkładu wykładniczego dana jest wzorem
Wariancja Wariancja rozkładu wykładniczego dana jest wzorem
Funkcja charakterystyczna Funkcja charakterystyczna rozkładu wykładniczego dana jest wzorem
gdzie – jednostka urojona.
Rozkład wykładniczy a inne rozkłady Tw. 1 Rozkład wykładniczy jest specjalnym przypadkiem rozkładu gamma, tzn. gdy ma rozkład to ma rozkład
Tw. 2 Jeżeli zmienne losowe są niezależne i mają rozkład to suma tych zmiennych ma rozkład .
Tw. 3 Rozkład wykładniczy jest związany z rozkładem Poissona następująco: Jeżeli w jednostce czasu zachodzi średnio niezależnych zdarzeń, to rozkład wykładniczy opisuje odstępy czasu pomiędzy kolejnymi zdarzeniami. Własność ta służy konstrukcji procesu Poissona.
Zobacz też zmienna losowa prawo rozpadu naturalnego rozkład gamma
Przypisy
Bibliografia Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne Modele i metody, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1993. W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998, cz. I Rachunek prawdopodobieństwa. Lech T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe.
Kategoria:Rozkłady ciągłe