Relacja antysymetryczna, relacja słabo antysymetryczna – dwuczłonowa relacja, która nie może zachodzić jednocześnie dla par i , dla różnych i (należących (oba) do odpowiedniego zbioru ).

Obie nazwy: relacja antysymetryczna i relacja słabo antysymetryczna, są w użyciu. Na przykład, Wojciech Guzicki i Piotr Zakrzewski podają pierwszą nazwę, ale Wiktor Marek i Janusz Onyszkiewicz używają drugiej.

Definicja

Formalnie relację dwuczłonową nazywa się antysymetryczną, gdy: . Uwaga. Innymi słowy, dla każdych dwóch elementów ze zbioru, na którym określono relację antysymetryczną, powinno być tak, że jeśli te dwa elementy pozostają ze sobą w tej relacji bez względu na ich kolejność (mamy oraz ), to elementy te są identyczne względem relacji równości (tzn. jest to ten sam element).

Uwaga. Powyższe zdanie, zapisane przy użyciu symboli logicznych, jest logiczną kontrapozycją warunku przedstawionego we wstępie; mówiącego właściwie, że: jeśli dwa elementy są różne, to relacja antysymetryczna między nimi nie zachodzi (per definitionem) przynajmniej w jedną stronę (tzn. dla dowolnych , takich że , przynajmniej jedna z par i ma nie należeć do relacji, abyśmy – z definicji relacji antysymetrycznej – mogli ją w sposób poprawny, uznać za antysymetryczną, właśnie).

Własności

Częściowe porządki oraz liniowe porządki, rozumiane jako pewne relacje (określane na pewnych zbiorach) są relacjami antysymetrycznymi, co wynika wprost z odpowiednich definicji obu tych porządków. Dana relacja może być jednocześnie zarówno relacją symetryczną, jak i relacją antysymetryczną. Przykład. Można sprawdzić rachunkiem, że przykładem relacji, spełniającej oba te warunki, dla ustalonego przykładowego zbioru , może być następująca relacja , zapisana jawnie jako zbiór par należących do tej relacji: . Istnieją w matematyce relacje, które nie są ani symetryczne, ani też nie są antysymetryczne. Przykład. Niech . Na tym zbiorze istnieje relacja , która nie jest symetryczna i nie jest też antysymetryczna. Jest to relacja zdefiniowana w następujący sposób: . Sprawdzimy antysymetrię. Wprost z definicji, relacja nie będzie antysymetryczna, wtedy i tylko wtedy, gdy: . Wystarczy zatem podać odpowiedni przykład elementów . Przykładem tym jest para uporządkowana: . Rzeczywiście, widzimy, że skoro oraz ; to – istotnie – w zbiorze relacji daje się znaleźć zarówno para , jak i para . Mamy zatem oba z: oraz . Jednocześnie, naturalnie, że prawdą jest zdanie: . Łącząc, widzimy, że nie może być antysymetryczna. Antysymetrię należy odróżniać jako pojęcie różne od asymetrii, w kontekście matematycznych relacji. Jeśli odnieść te pojęcia względem siebie, to prawdziwe okazuje się następujące stwierdzenie: dana relacja jest asymetryczna, wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona jednocześnie antysymetryczna oraz przeciwzwrotna.

Przykłady Relacja równości w dowolnym zbiorze. Relacja porządku w alfabecie łacińskim – dla dowolnie wybranych dwu różnych liter nie może jedna z nich występować w alfabecie jednocześnie wcześniej i później niż druga (to samo tyczy wszelkich porządków). Relacje, które nie są ani symetryczne, ani przeciwsymetryczne lub antysymetryczne: Bycie bratem – nie jest symetryczna dla rodzeństwa różnej płci, ale może być symetryczna dla dwóch braci. Jednocześnie symetria może zachodzić dla dwóch różnych osób.

Przypisy

Bibliografia

Kategoria:Własności relacji dwuczłonowych