mały|Spirala Archimedesa jako wykres równania r = a φ (dla a, φ > 0)
Spirala Archimedesa – krzywa płaska, taka że odległość punktu poruszającego się po spirali od jej punktu początkowego rośnie proporcjonalnie do kąta obrotu We współrzędnych biegunowych spiralę Archimedesa definiuje równanie:
gdzie: lub – ustalony parametr spirali; im większa jego wartość bezwzględna, tym większa odległość od siebie kolejnych zwojów spirali. Dla spirala kręci się przeciwnie niż wskazówki zegara (jest lewoskrętna).
Dla spirala kręci się zgodnie ze wskazówkami zegara (jest prawoskrętna).
Ogólniej: .
Jeden obrót spirali to zmiana parametru o 360°, co w radianach wynosi
Równanie spirali Archimedesa we współrzędnych kartezjańskich mały| spirali Archimedesa. Sama spirala nie jest rysowana: widzimy ją jako miejsce punktów, w których okręgi są szczególnie blisko siebie
Przechodzimy od równania we współrzędnych biegunowych do równań we współrzędnych kartezjańskich za pomocą przekształceń:
(1) równanie parametryczne spirali Archimedesa obracającej się przeciwnie do wskazówek zegara otrzyma się dla równania te mają postać:
gdzie: – parametr kątowy; – stały parametr spirali, przy czym:
a) dla otrzyma się spiralę jak na rysunku powyżej;
b) dla otrzyma się tę samą spiralę obróconą o 180° wokół prostej prostopadłej do płaszczyzny spirali, przechodzącej przez początek układu współrzędnych, tj. równania tej spirali mają postać:
gdzie
Obie spirale gładko łączą się ze sobą w punkcie początkowym.
(2) równanie parametryczne spirali Archimedesa obracającej się zgodnie ze wskazówkami zegara otrzyma się dla równania te mają postać:
gdzie: – parametr kątowy; – stały parametr spirali,
Dla otrzyma się tę samą spiralę obróconą o 180° wokół prostej prostopadłej do płaszczyzny spirali, przechodzącej przez początek układu współrzędnych. Obie spirale gładko łączą się ze sobą w punkcie początkowym.
Porównując równania spirali lewo- i prawoskrętnych widać, że równania są identyczne – o skrętności decyduje jednak to, czy parametr kątowy jest w zakresie liczb większych czy mniejszych od zera.
Uogólnienia na inne krzywe Spiralę Archimedesa uogólnia się na krzywe zdefiniowane wzorem:
lub ogólniej:
W szczególności: dla jest to spirala Archimedesa, dla jest to spirala hiperboliczna, dla jest to spirala Fermata.
Po angielsku czasem noszą one wspólną nazwę Archimedean spirals.
Zobacz też lista krzywych loksodroma spirala logarytmiczna
Przypisy
Bibliografia
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne
Archimedean spiral , Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05]. Spiral of Archimedes , MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].
Kategoria:Archimedes A