Kwadrat grecko-łaciński lub kwadrat Eulera rzędu nad dwoma -elementowymi zbiorami i – kwadratowa tablica o wierszach i kolumnach, zawierająca pary gdzie i taka że: każdy wiersz i każda kolumna zawiera dokładnie jeden raz każdy element z i dokładnie jeden raz każdy element z oraz żadne dwie komórki nie zawierają tej samej pary
Autorem koncepcji jest Leonhard Euler, który używał zbiorów: pierwsze dużych liter z alfabetu łacińskiego, i pierwsze małych liter z alfabetu greckiego Stąd nazwa kwadrat grecko-łaciński. Przykłady poniżej:
150px 150px Plik:GraecoLatinSquare-Order5.png Rzędu 3 Rzędu 4 Rzędu 5
Układ samych łacińskich znaków, a także układ samych greckich znaków w kwadracie grecko-łacińskim tworzą kwadrat łaciński. Kwadrat grecko-łaciński może zostać rozłożony na dwa ortogonalne kwadraty łacińskie. Ortogonalność oznacza tu, że każda para z iloczynu kartezjańskiego wystąpi dokładnie raz.
Planowanie eksperymentów Kwadraty grecko-łacińskie mają zastosowanie w planowaniu eksperymentów naukowych. Załóżmy, że mamy maksymalnie 4 nominalne zmienne, którymi możemy wpływać na wynik eksperymentu i każda z nich może przyjmować wartości. Na przykład w badaniach medycznych zmiennymi mogą być: podawany lek (jeden z trzech), stopień nasilenia choroby (niski, średni lub wysoki), wiek badanego (podzielony na trzy kategorie), szpital, w którym przeprowadzane jest badanie (jeden z trzech).
Teraz wystarczy ułożyć kwadrat grecko-łaciński rzędu (tutaj: 3), aby otrzymać plan eksperymentów. Każde pole kwadratu odpowiada jednemu z eksperymentów, kolumny to możliwe wartości pierwszej zmiennej, wiersze – drugiej zmiennej, litery łacińskie odpowiadają trzeciej zmiennej, a greckie czwartej.
Jeśli efekty wywołane przez każdą ze zmiennych są addytywne (to znaczy dodają się do ogólnego wyniku), to plan taki daje nieobciążone estymatory wpływu każdej możliwej wartości każdej z tych zmiennych na zmienną objaśnianą, choć możliwych kombinacji ich wartości jest o wiele więcej: Znacząco obniża to koszt badania. Aby obliczyć wpływ danej wartości danej zmiennej, wystarczy uśrednić wyniki odpowiadających jej eksperymentów.
Kwadraty grecko-łacińskie mogą też być użyte do konstrukcji kwadratów magicznych.
Historia W latach 80. XVIII wieku Euler pokazał metodę konstrukcji kwadratu grecko-łacińskiego, dla nieparzystego oraz dla wielokrotności 4. Zauważywszy, że nie istnieje kwadrat rzędu 2 i nie potrafiąc skonstruować kwadratu rzędu 6 (tzw. problem 36 oficerów) postawił hipotezę, że nie istnieją kwadraty grecko-łacińskie rzędu gdzie Faktycznie nieistnienie kwadratu rzędu 6 zostało udowodnione w 1901 przez Gastona Tarry’ego przez siłowe sprawdzenie wszystkich możliwych układów. Hipoteza Eulera nadal nie była jednak ani udowodniona, ani obalona. W 1959 R.C. Bose i Shrikhande znaleźli pewne kontrprzykłady; później Parker znalazł kontrprzykład rzędu 10. W 1960 Parker, Bose i Shrikhande pokazali, że hipoteza Eulera jest fałszywa dla wszystkich Ostatecznie okazało się, że istnieją kwadraty grecko-łacińskie każdego rzędu z wyjątkiem 6.
Zobacz też kwadrat łaciński kwadrat magiczny sudoku
Linki zewnętrzne
[dostęp 2025-12-22]. [dostęp 2025-12-22]. Narzędzie Javy asystujące w konstrukcji kwadratów grecko-łacińskich (samo ich nie tworzy) z cut-the-knot Anything but square: from magic squares to Sudoku
Kategoria:Kombinatoryka Kategoria:Dobór próby statystycznej Kategoria:Rodzaje macierzy kwadratowych